A Probabilistically Checkable Proof (PCP) of a mathematical statement is a proof written in a special manner that allows for efficient probabilistic verification. The celebrated PCP Theorem states that for every family of statements in NP, there is a probabilistic verification procedure that checks the validity of a PCP proof by reading only 3 bits from it. This landmark theorem, and the works leading up to it, laid the foundation for many subsequent works in computational complexity theory, the most prominent among them being the study of inapproximability of combinatorial optimization problems. This thesis focuses on a broad class of combinatorial optimization problems called Constraint Satisfaction Problems (CSPs). In an instance of a CSP problem of arity k, we are given a set of variables taking values from some finite domain, and a set of constraints each involving a subset of at most k variables. The goal is to find an assignment that simultaneously satisfies as many constraints as possible. An alternative formulation of the goal that is commonly used is Gap-CSP, where the goal is to decide whether a CSP instance is satisfiable or far from satisfiable, where the exact meaning of being far from satisfiable varies depending on the problems.We first study Boolean CSPs, where the domain of the variables is {0,1}. The main question we study is the hardness of distinguishing satisfiable Boolean CSP instances from those for which no assignment satisfies more than some epsilon fraction of the constraints. Intuitively, as the arity increases, the CSP gets more complex and thus the hardness parameter epsilon should decrease. We show that for Boolean CSPs of arity k, it is NP-hard to distinguish satisfiable instances from those that are at most 2^{~O(k^{1/3})}/2^k-satisfiable. We also study coloring of graphs and hypergraphs. Given a graph or a hypergraph, a coloring is an assignment of colors to vertices, such that all edges or hyperedges are non-monochromatic. The gap problem is to distinguish instances that are colorable with a small number of colors, from those that require a large number of colors. For graphs, we prove that there exists a constant K_0&gt;0, such that for any K &gt;= K_0, it is NP-hard to distinguish K-colorable graphs from those that require 2^{Omega(K^{1/3})} colors. For hypergraphs, we prove that it is quasi-NP-hard to distinguish 2-colorable 8-uniform hypergraphs of size N from those that require 2^{(log N)^{1/4-o(1)}} colors. In terms of techniques, all these results are based on constructions of PCPs with perfect completeness, that is, PCPs where the probabilistic proof verification procedure always accepts a correct proof. Not only is this a very natural property for proofs, but it can also be an essential requirement in many applications. It has always been particularly challenging to construct PCPs with perfect completeness for NP statements due to limitations in techniques. Our improved hardness results build on and extend many of the current approaches. Our Boolean CSP result and GraphColoring result were proved by adapting the Direct Sum of PCPs idea by Siu On Chan to the perfect completeness setting. Our proof for hypergraph coloring hardness improves and simplifies the recent work by Khot and Saket, in which they proposed the notion of superposition complexity of CSPs. / Ett probabilistiskt verifierbart bevis (eng: Probabilistically Checkable Proof, PCP) av en matematisk sats är ett bevis skrivet på ett speciellt sätt vilket möjliggör en effektiv probabilistisk verifiering. Den berömda PCP-satsen säger att för varje familj av påståenden i NP finns det en probabilistisk verifierare som kontrollerar om en PCP bevis är giltigt genom att läsa endast 3 bitar från det. Denna banbrytande sats, och arbetena som ledde fram till det, lade grunden för många senare arbeten inom komplexitetsteorin, framförallt inom studiet av approximerbarhet av kombinatoriska optimeringsproblem. I denna avhandling fokuserar vi på en bred klass av optimeringsproblem i form av villkorsuppfyllningsproblem (engelska ``Constraint Satisfaction Problems'' CSPs). En instans av ett CSP av aritet k ges av en mängd variabler som tar värden från någon ändlig domän, och ett antal villkor som vart och ett beror på en delmängd av högst k variabler. Målet är att hitta ett tilldelning av variablerna som samtidigt uppfyller så många som möjligt av villkoren. En alternativ formulering av målet som ofta används är Gap-CSP, där målet är att avgöra om en CSP-instans är satisfierbar eller långt ifrån satisfierbar, där den exakta innebörden av att vara ``långt ifrån satisfierbar'' varierar beroende på problemet.Först studerar vi booleska CSPer, där domänen är {0,1}. Den fråga vi studerar är svårigheten av att särskilja satisfierbara boolesk CSP-instanser från instanser där den bästa tilldelningen satisfierar högst en andel epsilon av villkoren. Intuitivt, när ariten ökar blir CSP mer komplexa och därmed bör svårighetsparametern epsilon avta med ökande aritet. Detta visar sig vara sant och ett första resultat är att för booleska CSP av aritet k är det NP-svårt att särskilja satisfierbara instanser från dem som är högst 2^{~O(k^{1/3})}/2^k-satisfierbara. Vidare studerar vi färgläggning av grafer och hypergrafer. Givet en graf eller en hypergraf, är en färgläggning en tilldelning av färger till noderna, så att ingen kant eller hyperkant är monokromatisk. Problemet vi analyserar är att särskilja instanser som är färgbara med ett litet antal färger från dem som behöver många färger. För grafer visar vi att det finns en konstant K_0&gt;0, så att för alla K &gt;= K_0 är det NP-svårt att särskilja grafer som är K-färgbara från dem som kräver minst 2^{Omega(K^{1/3})} färger. För hypergrafer visar vi att det är kvasi-NP-svårt att särskilja 2-färgbara 8-likformiga hypergrafer som har N noder från dem som kräv minst 2^{(log N)^{1/4-o(1)}} färger. Samtliga dessa resultat bygger på konstruktioner av PCPer med perfekt fullständighet. Det vill säga PCPer där verifieraren alltid accepterar ett korrekt bevis. Inte bara är detta en mycket naturlig egenskap för PCPer, men det kan också vara ett nödvändigt krav för vissa tillämpningar. Konstruktionen av PCPer med perfekt fullständighet för NP-påståenden ger tekniska komplikationer och kräver delvis utvecklande av nya metoder. Vårt booleska CSPer resultat och vårt Färgläggning resultat bevisas genom att anpassa ``Direktsumman-metoden'' introducerad av Siu On Chan till fallet med perfekt fullständighet. Vårt bevis för hypergraffärgningssvårighet förbättrar och förenklar ett färskt resultat av Khot och Saket, där de föreslog begreppet superpositionskomplexitet av CSP. / <p>QC 20150916</p>