In microwave communications, the main aspects for affecting the dielectric losses in the materials are relating to the dielectric properties and the radiation frequencies. Normally, the different dielectric materials will lead to the different losses and reflections for microwave frequencies. To evaluate the dielectric properties from the different materials plays an essential role in the microwave engineering. There are many approaches can be used to measure the dielectric materials, e.g. capacitor methods, transmission line methods, cavity resonator methods, open cavity methods and so on. The cavity resonator method is one of the most popular ways for measuring the dielectric materials. In this thesis, some of the techniques will be reviewed, and the TM010 mode cylindrical cavity resonator with perturbation technique will be used for determining the dielectric properties. The design and measurements will be presented in both simulations and practice. With 1.2GHz cavity resonator, in the simulations, the dielectric permittivity for Teflon is measured as 2.09-0.0023i and 2.12-0.0116 in copper cavity and ferromagnetic cavity. Finally the sample is measured as 3.83-0.12i in practice.

The Carleman Embedding is a method that allows us to embed a finite dimensional system of nonlinear differential equations into a system of infinite dimensional linear differential equations. This technique works well when dealing with first-order nonlinear differential equations. However, for higher order nonlinear ordinary differential equations, it is difficult to use the Carleman Embedding method. This project will examine the Carleman Embedding and a variation of the method which is very convenient in applying to second order systems of nonlinear equations.

La machine à réluctance variable peut être utilisée dans les véhicules électriques où pour des considérations d’autonomie, le rendement est crucial. En raison du fort champ de fuite dans la région de l’entrefer de la machine à réluctance variable due à sa géométrie particulière à pôles saillants, les pertes « cuivre » peuvent devenir conséquentes. Il est alors recommandé de ne pas placer les conducteurs au voisinage de l’entrefer. Cependant, des instructions concrètes pour la conception d’un enroulement optimal sont manquantes. Généralement, les pertes « cuivre » dans les machines électriques sont la somme des pertes Ohm DC classiques et des pertes additionnelles dites par courants de Foucault. Les pertes DC étant constantes à un point de fonctionnement donné, l’optimisation est axée alors sur la réduction des pertes par courants de Foucault en jouant sur la configuration géométrique de l’enroulement. Dans le cas de calculs répétitifs fastidieux, rencontrés par exemple lors des processus de conception et d’optimisation du bobinage des machines électriques, il y a un intérêt significatif à réduire le temps de calcul. Dans ce travail, on présente trois techniques de réduction du modèle et leurs applications dans les analyses par la méthode des éléments finis. Outre l’influence de la fréquence d’alimentation et de la section du conducteur, plusieurs facteurs liés à la configuration de l’enroulement influent sur les pertes additionnelles par courants de Foucault :i) la position du conducteur dans l’encoche au voisinage de la dent du stator ou de la zone de l’entrefer .ii) la disposition des conducteurs envers les lignes du champ magnétique bidimensionnelles de l’encoche .iii) l’utilisation d’un conducteur massif ou multi filamentaire; les filaments sont connectés en parallèle et peuvent permuter leurs positions périodiquement au sein du conducteur tout au long du bobinage. Dans cette thèse, on étudie principalement l’influence de la disposition géométrique des spires dans l’encoche et du type du conducteur utilisé s’il s’agit d’un conducteur massif, en fils de Litz ou en fils torsadés. Les pertes par courants de Foucault sont la conséquence d’un couplage fort électrique-magnétique entre la densité du courant et la variation en fonction du temps du champ magnétique. En utilisant le modèle de Maxwell, ce couplage est décrit par une équation différentielle à dérivée partielle qui ne peut être résolue simplement. La résolution de cette équation utilisant l’approche analytique n’est possible que sous certaines hypothèses simplificatrices qui peuvent dégrader la fiabilité de la solution. La modélisation par la méthode des éléments finis permet quant à elle de prendre en compte le mouvement du rotor et la non-linéarité du circuit magnétique garantissant ainsi une meilleure précision. Néanmoins, cela conduit à une large capacité de stockage et à un temps de calcul substantiel qui peut entraver tout processus de conception ou d’optimisation. Pour surmonter ce problème, on propose dans ce manuscrit trois techniques de réduction du modèle. Ces techniques assurent une réduction efficace de la taille du système matriciel associé à la modélisation par la méthode des éléments finis et diminuent par conséquent le temps de calcul : i) une réduction spatiale qui évite une modélisation en 3D des conducteurs complexes en fils torsadés et en fils de Litz et propose une modélisation 2D satisfaisante .ii) la technique de la perturbation. iii) la réduction de l’ordre du modèle utilisant la méthode de la décomposition orthogonale aux valeurs propres combinée à la méthode d’interpolation empirique discrète. La comparaison du modèle réduit à un modèle complet de référence montre l’efficacité de la réduction du modèle à réduire le temps de calcul tout en restant en deçà d’une erreur de précision acceptable. / The switched reluctance machine can be used in hybrid or electric vehicle where, for autonomy considerations, energy efficiency is crucial. Because of the strong stray field in the air-gap region of the switched reluctance machine due to its salient pole geometry, the copper losses can become substantial. It is firmly recommended therefore not to place the coil conductors near the air-gap region. Nevertheless, concrete instructions for optimal winding design are missing. The copper losses in electrical machines are subdivided into classical DC ohmic losses and additional eddy current losses occurring due to the time varying magnetic fields penetrating the copper conductors. Based on the fact that the DC losses are constant at a given operating point, the optimization is focused on reducing the eddy current losses by modifying the winding geometry configuration. In the case of tedious repetitive calculations, met for example during design and optimization processes of electrical machine windings, there is a significant interest in reducing the computation time. This work suggests three model reduction techniques and their applications in the finite element analyses.Besides the frequency of the excitation current and the cross section of the coil conductors, several factors related to the winding configuration can affect the addition al eddy current losses:i) the coil conductor position in the winding slot especially near the stator pole or close to the air gapii) the disposition of the coil conductor against the two-dimensional flux lines in the slot windingiii) the subdivision of the solid conductor into multiple parallel strands swapping their positions periodically in the conductor cross section throughout the length of the machine winding.This thesis mainly studies the influence of the geometric coils disposition in the slot windings and the type of the conductor used whether it is solid or stranded, with Litz or twisted wires.The eddy current losses exit through the strong electro-magnetic coupling between the electric current density and the time dependent magnetic flux lines penetrating the conductors; it is described mathematically by a partial differential equation that cannot be solved easily. The analytical approach, which is used practically for a quick resolution of the strong electro-magnetic coupling equation, is only possible under certain simplifying assumptions that deteriorate brutally the reliability of the copper losses calculation. The finite element modeling as for it, allows taking into account the rotor motion and the non-linear behavior of the magnetic circuit, thus ensuring a higher accuracy. However, it leads under these conditions to a substantial calculation time and requires large storage capacity. These constraints are critical and may hinder therefore any process of conception or optimization. In this thesis, we suggest three different model reduction techniques that can be effective in reducing the size of large scale complete finite element models and enable therefore to shorten the computational time:i) the spatial reduction avoiding the 3D modeling which seems required in the case of twisted and Litz wires and suggesting an alternative satisfactory 2D modeling.ii) the perturbation technique.iii) the model order reduction using the proper orthogonal decomposition combined with the discrete empirical interpolation method.The comparison between the reduced model solutions to that of the complete finite element model has proved the effectiveness of the proposed model reduction techniques; they allow shrinking the required computational time while staying below an acceptable error of accuracy.

[ES] Las ecuaciones diferenciales son herramientas fundamentales para modelizar y analizar sistemas dinámicos en Ingeniería. Las ecuaciones diferenciales permiten a los ingenieros describir cómo cambian en el tiempo y/o en el espacio las magnitudes físicas como, por ejemplo, la posición de un sistema vibratorio (como puede ser un muelle), la deflexión de un estructura mecánica (como puede ser una viga), etc. Por otra parte, muchos sistemas del mundo real están afectados por incertidumbres. Por ejemplo, los errores de medición, la comprensión incompleta de fenómenos físicos complejos, el ruido termal en los circuitos electrónicos o las variaciones en las propiedades de los materiales debido a su heterogeneidad son factores que involucran cierto nivel de aleatoriedad que debe tenerse en cuenta en la modelización. Esta modelización suele realizarse en muchos casos mediante ecuaciones diferenciales que, por tanto, contienen en su formulación magnitudes con incertidumbre, dando lugar a ecuaciones diferenciales aleatorias/estocásticas. Proporcionar métodos rigurosos para estudiar dichas ecuaciones es fundamental para desarrollar soluciones robustas y fiables de problemas de Ingeniería. Esta tesis presenta un análisis probabilístico de tres clases de problemas de Ingeniería Mecánica, como son los sistemas vibratorios (osciladores), las estructuras mecánicas (deflexión de vigas) y un problema mecánico modelado por una ecuación diferencial fraccionaria aleatoria. A lo largo del trabajo se han aplicado diferentes técnicas probabilísticas para lograr una comprensión más profunda del comportamiento de estos sistemas bajo excitaciones aleatorias. Además, en esta tesis nos hemos centrado en construir aproximaciones, no sólo de los momentos estadísticos principales (media, varianza, etc.), sino también la función de densidad de probabilidad de la respuesta (solución) de los distintos modelos estudiados. Proporcionar una descripción probabilística completa de este tipo de modelos mecánicos es un tema que ha atraído un notable interés tanto de matemáticos como de ingenieros durante las últimas décadas. En primer lugar, se estudian dos osciladores aleatorios no lineales en los que el término de restauración depende de la posición, en el primer caso, y de la posición y la velocidad, en el segundo. El término no lineal está afectado por un pequeño parámetro de perturbación. Como en ambos casos no podemos obtener la solución explícitamente, utilizaremos el método de perturbación estocástica para construir aproximaciones de la solución estocástica y sus primeros momentos estadísticos. Esto, en combinación con el principio de máxima entropía, nos permitirá obtener aproximaciones de la función de densidad de probabilidad estacionaria de la solución. En segundo lugar, se aborda el estudio de dos modelos estáticos aleatorios que describen la deflexión de una viga en voladizo. Se distinguen dos escenarios con respecto al tipo de procesos estocásticos que modelan la distribución de la carga que soporta la viga, y suponiendo que algunos parámetros del modelo, como el módulo de Young o el parámetro de rigidez flexural, pueden ser aleatorios. Adaptamos convenientemente distintas técnicas estocásticas para calcular de forma exacta o aproximada la función de densidad de probabilidad de la deflexión de la viga en voladizo en cada uno de los dos modelos antes mencionados. Por último, se revisita un modelo sencillo propuesto recientemente para estudiar una clase de osciladores aleatorios formulados mediante la derivada fraccionaria de Caputo. Concretamente se construyen aproximaciones de la función de densidad de probabilidad de la respuesta estocástica aprovechando el método de transformación de variables aleatorias adaptado a procesos estocásticos. En este estudio se dan condiciones suficientes sobre los parámetros (que son variables aleatorias) del modelo para garantizar la convergencia de estas aproximaciones. / [CA] Les equacions diferencials són ferramentes fonamentals per a modelitzar i analitzar sistemes dinàmics en Enginyeria. Les equacions diferencials permeten als enginyers descriure com canvien en el temps i/o l'espai les magnituds físiques com, per exemple, la posició d'un sistema vibratori (com pot ser un moll), la deflexió d'una estructura mecànica (com pot ser una viga), etc. Per altra banda, molts sistemes del món real estan afectats per incerteses. Per exemple, els errors de mesurament, la comprensió incompleta de fenòmens físics complexos, el soroll termal en els circuits electrònics i les variacions en les propietats dels materials a causa de la seua heterogeneïtat són factors que involucren cert nivell d'aleatorietat que ha de tindre's en compte en la modelització. Esta modelització sol realitzar-se en molts casos mitjançant equacions diferencials que, per tant, contindrà en la seua formulació incertesa, donant lloc a equacions diferencials aleatòries/estocàstiques. Proporcionar mètodes rigorosos per a estudiar estes equacions és fonamental per a desenvolupar solucions robustes i fiables de problemes d'Enginyeria. Esta tesi presenta una anàlisi probabilística de tres classes de problemes d'Enginyeria Mecànica, com són els sistemes vibratoris (oscil·ladors), les estructures mecàniques (deflexió de bigues) i un problema mecànic modelat per una equació diferencial fraccionària aleatòria. Al llarg del nostre treball, hem aplicat diferents tècniques matemàtiques per a aconseguir una comprensió més profunda del comportament d'estos sistemes sota excitacions aleatòries. A més a més, en esta tesi ens hem centrat en construir aproximacions, no sols dels moments estadístics principals (mitjana, variància, etc.), sinó també la funció de densitat de probabilitat de la resposta (solució) dels diferents models estudiats. Proporcionar una descripció probabilística completa d'esta mena de models mecànics és un tema que ha atret l'interés tant de matemàtics com d'enginyers durant les últimes dècades. En primer lloc, estudiem dos oscil·ladors aleatoris no lineals en els quals el terme de restauració depén de la posició, en el primer cas, i de la posició i la velocitat, en el segon. El terme no lineal està afectat per un xicotet paràmetre de pertorbació. Com en tots dos casos no podem obtindre la solució explícitament, utilitzarem el mètode de pertorbació estocàstica per a construir aproximacions de la solució estocàstica i els seus primers moments estadístics. Això, en combinació amb el principi de màxima entropia, ens permetrà obtindre aproximacions fiables de la funció de densitat de probabilitat estacionària de la solució. En segon lloc, s'aborda l'estudi de dos models estàtics aleatoris que descriuen la deflexió d'una biga en volada. Distingim dos escenaris diferents respecte al tipus de processos estocàstics que modelen la distribució de la càrrega que suporta la biga i suposant aleatorietat per a alguns paràmetres del model, com el mòdul de Young o el paràmetre de rigidesa flexural. Adaptem convenientment diferents tècniques estocàstiques per a calcular de manera exacta o aproximada la funció de densitat de probabilitat de la deflexió de la biga en volada en cadascun dels dos models abans esmentats. Finalment, es revisita un model senzill proposat recentment per a estudiar una classe d' oscil·ladors aleatoris formulats mitjançant la derivada fraccionària de Caputo. Concretament, es construïxen aproximacions de la funció de densitat de probabilitat de la resposta estocàstica aprofitant el mètode de transformació de variables aleatòries adaptat a processos estocàstics. En este estudi es donen condicions suficients sobre els paràmetres (que són variables aleatòries) del model per a garantir la convergència d'estes aproximacions. Els resultats d'este estudi poden ser d'utilitat per emprendre en el futur l'estudi d' oscil·ladors aleatoris més complexos formulats mitjançant equacions diferencials fraccionàries. / [EN] Differential equations in Engineering are fundamental tools for modelling and analysing dynamical systems. Differential equations allow engineers to describe how physical quantities change over time and/or space, such as vibratory systems, mechanical structures, etc. However, many real-world systems are influenced by uncertainties. For instance, measurement errors, incomplete understanding of complex physical phenomena, random fluctuations like electronic circuit noise, and unpredictable material properties variations are aleatoric factors. Understanding both deterministic and random/stochastic differential equations is, therefore, vital for developing robust and reliable engineering solutions in a random world. This thesis presents a comprehensive probabilistic analysis of three mechanical engineering problems: vibratory systems (oscillators), mechanical structures (deflection of beams), and a foundational mechanical problem modelled by a random fractional differential equation. Throughout our work, we have applied different mathematical techniques to better understand these system's behavior under random excitations. A significant focus has been on accurately approximating not only the main statistical moments but also the probability density function of the model's response (solution) of the models studied throughout this dissertation. Providing a complete probabilistic description of such types of mechanical models is a topic that has attracted the interest of mathematicians and engineers during the last decades. In the first place, we will study two nonlinear random oscillators where the restoring term depends on the position, in the first case, and on the position and velocity, in the second one. The nonlinear term is affected by a small perturbative parameter. As in both cases, we cannot obtain the solution explicitly, we will use the stochastic perturbation method to construct approximations of the stochastic solution and its first statistical moments. This, in combination with the principle of maximum entropy, will result in obtaining reliable approximations of the stationary probability density function of the response. Second, we will study two models describing the deflection of a random static cantilever beam. We distinguish two different scenarios with respect to the type of stochastic processes modelling the distribution of the load spanned the beam and assuming randomness for some model parameters such as the Young's modulus or the flexural rigidity parameter. We then conveniently adapt different stochastic techniques to calculate exactly or approximately the probability density function of the deflection of the cantilever. Finally, we will revisit a simple model recently proposed to study a class of random oscillators formulated via the Caputo fractional derivative. We will construct approximations of the probability density function of the stochastic response, taking advantage of the random variable transformation method. We rigorously prove the convergence of these approximations under mild conditions of the model's parameters. This approach can inspire the study of more complex oscillators formulated via fractional differential equations. / López Navarro, E. (2024). Advances on Differential Equations with Uncertainties and their Applications to Probabilistic Mechanics Engineering [Tesis doctoral]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/213333