In dieser Dissertation wird erstmalig ein theoretisches Fundament zur Beschneiung virtueller Szenen entwickelt. Das theoretische Fundament wird als analytisches Modell in Form einer Diffusionsgleichung formuliert. Aus dem analytischen Modell lässt sich eine Gruppe von Algorithmen zur Beschneiung virtueller Szenen ableiten. Eingehende Voruntersuchungen zur allgemeinen Modellierung natürlicher Phänomene in der Computergraphik sowie eine Klassifikation der bestehenden Literatur über mathematische Schneemodellierung bilden den Anfang der Arbeit. Aus der umfassenden Darstellung der Eigenschaften von Schnee, wie er in der Natur vorkommt, ergeben sich die Grundlagen für die Modellbildung. Die Modellbildung fußt auf den grundlegenden Ansätzen der klassischen Mechanik und der statistischen Physik. Für die Beschneiung auf visueller Skala erweist sich der Diffusionsprozess als geeignete Beschreibung. Mit der Beschreibung lassen sich diffusiv Schneeoberflächen erzeugen. Der konkrete computergraphische Wert des theoretischen Fundaments wird anhand zweier Implementierungen exemplarisch dargestellt, und zwar in der Distanzfeldmethode und der Diffusionskernmethode. Die Ergebnisse werden mithilfe dreidimensionaler Rauschtexturen und Alpha-Masken an den Rändern fotorealistisch visualisiert. / In this dissertation for the first time a theoretical foundation is developed for snow accumulation in virtual scenes. The theoretical foundation is formulated in an analytical model as diffusion equation. The analytical model leads to a group of algorithms for virtual snow accumulation. Comprehensive investigations for the modelling of natural phenomena in computer graphics in general are used to develop a method classification scheme. Another classification is given for an overview over the aspects of snow in the real world. This allows an efficient presentation of related literature on snow modelling. A new approach of snow modelling is then drawn from first principles of classical mechanics and statistical physics. Diffusion processes provide an efficient theoretical framework for snow accumulation. The mathematical structure of diffusion equations is discussed and demonstrated to be adequate to snow modelling in visual scales. The value of the theoretical foundation for computer graphics is demonstrated with two exemplary implementations, a distance field method and the diffusion kernel method. Results are visualized with 3D noise textures and alpha masks near borders delivering photorealistic snow pictures.

In dieser Dissertation wird erstmalig ein theoretisches Fundament zur Beschneiung virtueller Szenen entwickelt. Das theoretische Fundament wird als analytisches Modell in Form einer Diffusionsgleichung formuliert. Aus dem analytischen Modell lässt sich eine Gruppe von Algorithmen zur Beschneiung virtueller Szenen ableiten. Eingehende Voruntersuchungen zur allgemeinen Modellierung natürlicher Phänomene in der Computergraphik sowie eine Klassifikation der bestehenden Literatur über mathematische Schneemodellierung bilden den Anfang der Arbeit. Aus der umfassenden Darstellung der Eigenschaften von Schnee, wie er in der Natur vorkommt, ergeben sich die Grundlagen für die Modellbildung. Die Modellbildung fußt auf den grundlegenden Ansätzen der klassischen Mechanik und der statistischen Physik. Für die Beschneiung auf visueller Skala erweist sich der Diffusionsprozess als geeignete Beschreibung. Mit der Beschreibung lassen sich diffusiv Schneeoberflächen erzeugen. Der konkrete computergraphische Wert des theoretischen Fundaments wird anhand zweier Implementierungen exemplarisch dargestellt, und zwar in der Distanzfeldmethode und der Diffusionskernmethode. Die Ergebnisse werden mithilfe dreidimensionaler Rauschtexturen und Alpha-Masken an den Rändern fotorealistisch visualisiert.:1. Einleitung 7 2. Zentrale Beiträge dieser Arbeit 11 3. Natürliche Phänomenmodellierung in der Computergraphik 13 3.1. Die Rolle der computergraphisch modellierten Naturphänomene in der Informatik . . . . 14 3.2. Repräsentationsformen natürlicher Phänomene in der Computergraphik . . . . 16 3.3. Modellierungsmethoden im Überblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.3.1. Bildbasierte Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.3.2. Diskretisierungsbasierte Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.3.3. Kontinuumsbasierte Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.3.4. Modellreduktionsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.3.5. Interaktionsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.4. Klassifikation der natürlichen Phänomene in der Computergraphik . . . . 25 3.4.1. Statische Phänomene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.4.2. Dynamische Phänomene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.4.3. Zusammengesetzte Phänomene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.4.4. Sonstige natürliche Phänomene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.5. Schlussfolgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4. Schnee in der Natur 35 4.1. Entstehung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.2. Niederschlag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.3. Akkumulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.4. Metamorphose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.5. Computergraphisch modellierbare Aspekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5. Vorarbeiten zur computergraphischen Schneemodellierung 45 5.1. Modellierung statischer Aspekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.1.1. Optische Schneeeigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.1.2. Geometrische Form der Schneeoberflächen . . . . . . . . . . . . . . 46 5.1.3. Schnee als makroskopische Landschaftstextur . . . . . . . . . . . . 48 5.2. Modellierung dynamischer Aspekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.2.1. Schneefall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.2.2. Schneeschmelze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 5.2.3. Lokale Schneeumlagerung und Kompaktifizierung . . . . . . . . . . 50 5.2.4. Bisher nicht modellierte Aspekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 5.3. Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 6. Physikalische Methoden zur Darstellung von Materialflüssen und Phasengrenzen 55 6.1. Mikroskopische Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 6.1.1. Formale Schneecharakterisierung mit einer Vielteilchen-Hamilton- Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 6.1.2. Statistische Formulierung der Vielteilchenbeschreibung . . . . . . . 57 6.2. Makroskopische Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 6.2.1. Schneeverteilung als globales Strahlungsgleichgewicht . . . . . . . 59 6.2.2. Lokale stochastische Darstellung als getriebene Oberfläche . . . . . 61 6.2.3. Oberflächenentwicklung als Reaktionsdiffusion . . . . . . . . . . . 63 6.3. Zusammenfassung und Schlussfolgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 7. Eigenschaften und Lösungen von Diffusionsgleichungen 67 7.1. Das physikalische Prinzip der Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 7.1.1. Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 7.1.2. Diffusion auf Höhenfeldern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 7.2. Mathematische Behandlung linearer Diffusionsgleichungen . . . . . . . . . 70 7.2.1. Konstruktion von allgemeinen Lösungen mittels Fundamentallösung 70 7.3. Analytische Lösungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 8. Computergraphische Erzeugung von Schneeoberflächengeometrien 75 8.1. Faltung als Grundprinzip der diffusiven Schneedeckenerzeugung . . . . . . 76 8.2. Datenstrukturen zur Darstellung von Schneedecken . . . . . . . . . . . . . 79 8.3. Darstellung mittels Distanzfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 8.3.1. Details der Distanzfeldmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 8.3.2. Diskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 8.4. Darstellung als Diffusionsprozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 8.4.1. Modelldetails . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 8.4.2. Diskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 8.5. Erweiterung für Überhänge und Schneebrücken . . . . . . . . . . . . . . . 96 8.5.1. Brückenerzeugung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 8.5.2. Überhangsberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 8.5.3. Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 8.5.4. Diskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 8.6. Vergleich und Verallgemeinerbarkeit der Schneemodellierungsansätze . . . 101 9. Visualisierung virtueller Schneeoberflächen 103 9.1. Schneeoberfläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 9.2. Schneeränder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 9.3. Diskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 10.Zusammenfassung und Schlussfolgerungen 107 10.1. Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 10.2. Schlussfolgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 A. Beobachtungssammlung natürlicher Schneeformen 109 A.1. Randprofile und Stützflächenabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 A.2. Verdeckung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 A.3. Glättung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 A.4. Innenränder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 A.5. Brücken und Überhänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 A.6. Nicht modellierte Aspekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 B. Sammlung virtuell beschneiter Szenen 125 B.1. Distanzfeldmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 B.2. Diffusionskernmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 B.3. Brückenbildung und Überhänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Literaturverzeichnis 131 Abbildungsverzeichnis 143 Veröffentlichungen 151 / In this dissertation for the first time a theoretical foundation is developed for snow accumulation in virtual scenes. The theoretical foundation is formulated in an analytical model as diffusion equation. The analytical model leads to a group of algorithms for virtual snow accumulation. Comprehensive investigations for the modelling of natural phenomena in computer graphics in general are used to develop a method classification scheme. Another classification is given for an overview over the aspects of snow in the real world. This allows an efficient presentation of related literature on snow modelling. A new approach of snow modelling is then drawn from first principles of classical mechanics and statistical physics. Diffusion processes provide an efficient theoretical framework for snow accumulation. The mathematical structure of diffusion equations is discussed and demonstrated to be adequate to snow modelling in visual scales. The value of the theoretical foundation for computer graphics is demonstrated with two exemplary implementations, a distance field method and the diffusion kernel method. Results are visualized with 3D noise textures and alpha masks near borders delivering photorealistic snow pictures.:1. Einleitung 7 2. Zentrale Beiträge dieser Arbeit 11 3. Natürliche Phänomenmodellierung in der Computergraphik 13 3.1. Die Rolle der computergraphisch modellierten Naturphänomene in der Informatik . . . . 14 3.2. Repräsentationsformen natürlicher Phänomene in der Computergraphik . . . . 16 3.3. Modellierungsmethoden im Überblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.3.1. Bildbasierte Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.3.2. Diskretisierungsbasierte Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.3.3. Kontinuumsbasierte Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.3.4. Modellreduktionsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.3.5. Interaktionsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.4. Klassifikation der natürlichen Phänomene in der Computergraphik . . . . 25 3.4.1. Statische Phänomene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.4.2. Dynamische Phänomene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.4.3. Zusammengesetzte Phänomene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.4.4. Sonstige natürliche Phänomene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.5. Schlussfolgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4. Schnee in der Natur 35 4.1. Entstehung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.2. Niederschlag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.3. Akkumulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.4. Metamorphose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.5. Computergraphisch modellierbare Aspekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5. Vorarbeiten zur computergraphischen Schneemodellierung 45 5.1. Modellierung statischer Aspekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.1.1. Optische Schneeeigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.1.2. Geometrische Form der Schneeoberflächen . . . . . . . . . . . . . . 46 5.1.3. Schnee als makroskopische Landschaftstextur . . . . . . . . . . . . 48 5.2. Modellierung dynamischer Aspekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.2.1. Schneefall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.2.2. Schneeschmelze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 5.2.3. Lokale Schneeumlagerung und Kompaktifizierung . . . . . . . . . . 50 5.2.4. Bisher nicht modellierte Aspekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 5.3. Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 6. Physikalische Methoden zur Darstellung von Materialflüssen und Phasengrenzen 55 6.1. Mikroskopische Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 6.1.1. Formale Schneecharakterisierung mit einer Vielteilchen-Hamilton- Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 6.1.2. Statistische Formulierung der Vielteilchenbeschreibung . . . . . . . 57 6.2. Makroskopische Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 6.2.1. Schneeverteilung als globales Strahlungsgleichgewicht . . . . . . . 59 6.2.2. Lokale stochastische Darstellung als getriebene Oberfläche . . . . . 61 6.2.3. Oberflächenentwicklung als Reaktionsdiffusion . . . . . . . . . . . 63 6.3. Zusammenfassung und Schlussfolgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 7. Eigenschaften und Lösungen von Diffusionsgleichungen 67 7.1. Das physikalische Prinzip der Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 7.1.1. Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 7.1.2. Diffusion auf Höhenfeldern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 7.2. Mathematische Behandlung linearer Diffusionsgleichungen . . . . . . . . . 70 7.2.1. Konstruktion von allgemeinen Lösungen mittels Fundamentallösung 70 7.3. Analytische Lösungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 8. Computergraphische Erzeugung von Schneeoberflächengeometrien 75 8.1. Faltung als Grundprinzip der diffusiven Schneedeckenerzeugung . . . . . . 76 8.2. Datenstrukturen zur Darstellung von Schneedecken . . . . . . . . . . . . . 79 8.3. Darstellung mittels Distanzfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 8.3.1. Details der Distanzfeldmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 8.3.2. Diskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 8.4. Darstellung als Diffusionsprozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 8.4.1. Modelldetails . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 8.4.2. Diskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 8.5. Erweiterung für Überhänge und Schneebrücken . . . . . . . . . . . . . . . 96 8.5.1. Brückenerzeugung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 8.5.2. Überhangsberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 8.5.3. Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 8.5.4. Diskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 8.6. Vergleich und Verallgemeinerbarkeit der Schneemodellierungsansätze . . . 101 9. Visualisierung virtueller Schneeoberflächen 103 9.1. Schneeoberfläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 9.2. Schneeränder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 9.3. Diskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 10.Zusammenfassung und Schlussfolgerungen 107 10.1. Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 10.2. Schlussfolgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 A. Beobachtungssammlung natürlicher Schneeformen 109 A.1. Randprofile und Stützflächenabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 A.2. Verdeckung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 A.3. Glättung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 A.4. Innenränder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 A.5. Brücken und Überhänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 A.6. Nicht modellierte Aspekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 B. Sammlung virtuell beschneiter Szenen 125 B.1. Distanzfeldmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 B.2. Diffusionskernmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 B.3. Brückenbildung und Überhänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Literaturverzeichnis 131 Abbildungsverzeichnis 143 Veröffentlichungen 151