In this dissertation, we introduce combinatorial interpretations for three types of HallLittlewood polynomials (denoted Rλ, Pλ, and Qλ) by using weighted combinatorial objects called abacus-tournaments. We then apply these models to give combinatorial proofs of properties of Hall-Littlewood polynomials. For example, we show why various specializations of Hall-Littlewood polynomials produce the Schur symmetric polynomials, the elementary symmetric polynomials, or the t-analogue of factorials. With the abacus-tournament model, we give a bijective proof of a Pieri rule for Hall-Littlewood polynomials that gives the Pλ-expansion of the product of a Hall-Littlewood polynomial Pµ with an elementary symmetric polynomial ek. We also give a bijective proof of certain cases of a second Pieri rule that gives the Pλ-expansion of the product of a Hall-Littlewood polynomial Pµ with another Hall-Littlewood polynomial Q(r) . In general, proofs using abacus-tournaments focus on canceling abacus-tournaments and then finding weight-preserving bijections between the sets of uncanceled abacus-tournaments. / Ph. D.

Les grassmanniennes symplectiques impaires sont une famille d'espaces quasi-homogènes très proches des grassmanniennes symplectiques de par leur construction et leurs propriétés. Dans ce travail, j'étudie leur cohomologie classique et quantique. Pour les grassmanniennes symplectiques impaires de droites, j'obtiens une règle de Pieri quantique ainsi qu'une présentation de l'anneau de cohomologie quantique. J'en déduis la semi-simplicité de cet anneau et je détermine une collection exceptionnelle complète pour la catégorie dérivée, ce qui me permet de vérifier pour cet exemple une conjecture de Dubrovin. Dans le cas général, je démontre un principe quantique-classique pour certains invariants de Gromov-Witten de degré un. Sous réserve de l'énumérativité des invariants de degré supérieur, je prouve que la règle de Pieri quantique est entièrement déterminée par le calcul des invariants de degré un. / Odd symplectic Grassmannians are a family of quasi-homogeneous spaces that are closely related to symplectic Grassmannians by their construction and properties. The goal of this work is to study their classical and quantum cohomology. For odd symplectic Grassmannians of lines, I obtain a quantum Pieri rule and a presentation of the quantum cohomology ring. I prove the semisimplicity of this ring and determine a full exceptional collection for the derived category, which enables me to check a conjecture of Dubrovin in this example. In the general case, I prove a quantum-to-classical principle for some degree one Gromov-Witten invariants. Assuming higher-dimensional Gromov-Witten invariants are enumerative, I conclude that the quantum Pieri rule is entirely determined by the knowledge of degree one invariants.

Root systems are a fundamental concept in the theory of Lie algebra. In this thesis, we will use two different kind of graphs to represent the group generated by reflections acting on the elements of the root system. The root systems we are interested in are those of type A2, B2 and G2. After drawing the graphs, we will study the algebraic groups corresponding to those root systems. We will use three different techniques to give a geometric description of the homogeneous spaces G/P where G is the algebraic group corresponding to the root system and P is one of its parabolic subgroup. Finally, we will make a link between the graphs and the multiplication of basis elements in the Chow group CH(G/P).

Root systems are a fundamental concept in the theory of Lie algebra. In this thesis, we will use two different kind of graphs to represent the group generated by reflections acting on the elements of the root system. The root systems we are interested in are those of type A2, B2 and G2. After drawing the graphs, we will study the algebraic groups corresponding to those root systems. We will use three different techniques to give a geometric description of the homogeneous spaces G/P where G is the algebraic group corresponding to the root system and P is one of its parabolic subgroup. Finally, we will make a link between the graphs and the multiplication of basis elements in the Chow group CH(G/P).

Root systems are a fundamental concept in the theory of Lie algebra. In this thesis, we will use two different kind of graphs to represent the group generated by reflections acting on the elements of the root system. The root systems we are interested in are those of type A2, B2 and G2. After drawing the graphs, we will study the algebraic groups corresponding to those root systems. We will use three different techniques to give a geometric description of the homogeneous spaces G/P where G is the algebraic group corresponding to the root system and P is one of its parabolic subgroup. Finally, we will make a link between the graphs and the multiplication of basis elements in the Chow group CH(G/P).

Tableau d’honneur de la Faculté des études supérieures et postdoctorales, 2008-2009 / Les polynômes de Jack sont des polynômes symétriques qui constituent les fonctions propres de l'hamiltonien du problème à N corps complètement intégrable de Calogero- Moser-Sutherland (CMS). Ces polynômes sont bien connus en physique et en mathématiques et plusieurs de leurs propriétés ont été obtenues. Entre autres, il existe des règles, nommées formules de Pieri, qui permettent de développer un produit de deux polynômes de Jack dans une combinaison linéaire de polynômes de Jack. Ces formules ont mené à l'obtention d'opérateurs différentiels analogues à des opérateurs de création qui permettent de générer ces polynômes sans avoir à diagonaliser explicitement l'hamiltonien. Dans le cadre de ce mémoire, on s'intéresse au modèle CMS supersymétrique et plus particulièrement aux généralisations des formules de Pieri. On introduit aussi quelques propriétés des superpolynômes de Jack qui seront utiles pour prouver les formules de Pieri obtenues dans le cas supersymétrique.

Cette thèse se compose de trois parties. La première partie est consacrée aux partitions planes cylindriques, la deuxième aux lambda-déterminants et enfin la troisième aux commutateurs dans les systèmes semi-circulaires. La classe des partitions planes cylindriques est une généralisation naturelle de celle des partitions planes inverses. Borodin a donnée récemment une série génératrice pour les partitions planes cylindriques. Notre premier résultat est une preuve bijective de cette identité utilisant les diagrammes de croissance de Fomin for la correspondance RSK généralisée. Le deuxième résultat est un (q, t)-analogue de la formule de Borodin, qui généralise un résultat d'Okada. Enfin le troisième résultat de la première partie est une description combinatoire explicite du poids de Macdonald intervenant dans cette formule, qui utilise un modèle de chemins non-intersectant pour les partitions planes cylindriques. Les matrices à signes alternants ont ́été découvertes par Robbins et Rumsey alors qu’ils étudiaient les λ-déterminants. Dans la deuxième partie de cette thèse nous démontrons une généralisation à plusieurs paramètres de ce λ-déterminant, généralisant un résultat récent de di Francesco. Comme le λ-déterminant, notre formule est un exemple du phénomène de Laurent. Les systèmes semi-circulaires ont ́été introduits par Voiculescu afin d' ́étudier les algèbres de von Neumann des groupes libres. Dans la troisième partie de la thèse, nous étudions les commutateurs dans l'algèbre engendré par un système semi-circulaire. Nous avons mis en ́évidence une matrice possédant une structure auto-similaire intéressante, qui nous permet de donner une formule explicite pour la projection sur l'espace des commutateurs de degré donnée. En utilisant cette expression, nous donnons une preuve simple du fait que les systèmes semi-circulaires engendrent des facteurs / This thesis is divided into three parts. The first part deals with cylindric plane partitions. The second with lambda-determinants and the third with commutators in semi-circular systems. Cylindric plane partitions may be thought of as a natural generalization of reverse plane partitions. A generating series for the enumeration of cylindric plane partitions was recently given by Borodin. The first result of section one is a new bijective proof of Borodin's identity which makes use of Fomin's growth diagram framework for generalized RSK correspondences. The second result is a (q, t)-analog of Borodin's identity which extends previous work by Okada in the reverse plane partition case. The third result is an explicit combinatorial interpretation of the Macdonald weight occuring in the(q, t)-analog using the non-intersecting lattice path model for cylindric plane partitions. Alternating sign matrices were discovered by Robbins and Rumsey whilst studying λ-determinants. In the second part of this thesis we prove a multi-parameter generalization of the λ-determinant, generalizing a recent result by di Francesco. Like the original λ-determinant, our formula exhibits the Laurent phenomenon. Semicircular systems were first introduced by Voiculescu as a part of his study of von Neumann algebras. In the third part of this thesis we study certain commutator sub algebras of the semicircular system. We find a projection matrix with an interesting self-similar structure. Making use of our projection formula we given an alternative, elementary proof that the semicircular system is a factor

Les grassmanniennes symplectiques impaires sont une famille d'espaces quasi-homogènes très proches des grassmanniennes symplectiques de par leur construction et leurs propriétés. Dans ce travail, j'étudie leur cohomologie classique et quantique. Pour les grassmanniennes symplectiques impaires de droites, j'obtiens une règle de Pieri quantique ainsi qu'une présentation de l'anneau de cohomologie quantique. J'en déduis la semi-simplicité de cet anneau et je détermine une collection exceptionnelle complète pour la catégorie dérivée, ce qui me permet de vérifier pour cet exemple une conjecture de Dubrovin. Dans le cas général, je démontre un principe quantique-classique pour certains invariants de Gromov-Witten de degré un. Sous réserve de l'énumérativité des invariants de degré supérieur, je prouve que la règle de Pieri quantique est entièrement déterminée par le calcul des invariants de degré un.