Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Cette thèse est consacrée à l'étude des équations des fluides de grade deux. Lorsque le coefficient matériel $\alpha$ est petit, ces équations peuvent etre considérées comme une perturbation singulière des équations de Navier-Stokes puisqu'elles font intervenir un terme de dérivée d'ordre trois. Dans une première partie, on considère les équations des fluides de grade deux en rotation rapide dans un tore tridimensionnel. On démontre deux résultats d'existence globale de solutions fortes . Dans le premier, on suppose que le coefficient matériel $\alpha$ est arbitraire et que les troisièmes composantes des moyennes verticales de la donnée initiale et du terme de force sont petites par rapport aux composantes horizontales. Dans le deuxième cas, on ne restreint pas la taille de la donnée initiale et du terme de force, mais on suppose que $\alpha$ est assez petit. Dans ces deux cas, on montre que le système des fluides de grade deux en rotation rapide converge vers un système limite couplé, composé d'un système linéaire et d'un système de fluides de grade deux à deux variables, mais à trois composantes. Une partie essentielle du travail consiste à démontrer l'existence globale des solutions de ce système limite à trois composantes. Dans la deuxième partie, on étudie le comportement asymptotique en temps grand du système des fluides de grade deux dans l'espace $\mathbb{R}^2$. En introduisant des changements de variables d'échelle et en écrivant des estimations d'énergie dans des espaces de Sobolev à poids polynomiaux, on démontre que, sous une condition de petitesse sur la donnée initiale, les solutions des fluides de grade deux convergent vers le tourbillon d'Oseen. On donne aussi une estimation du taux de convergence. La dernière partie de cette thèse porte sur la comparaison de la dynamique des équations des fluides de grade deux avec celle des équations de Navier-Stokes en dimension deux d'espace. On montre que, si $z_0$ est un point d'équilibre hyperbolique des équations de Navier-Stokes, le système des fluides de grade deux admet un unique point d'équilibre $z_{\alpha}$ dans un certain voisinage de $z_0$, si $\alpha$ est assez petit. Ensuite, on construit la variété locale instable de $z_{\alpha}$ et on la compare à celle de $z_0$.

Cette thèse traite les jeux différentiels stochastiques de somme non nulle (JDSNN) dans le cadre de Markovien et de leurs liens avec les équations différentielles stochastiques rétrogrades (EDSR) multidimensionnelles. Nous étudions trois problèmes différents. Tout d'abord, nous considérons un JDSNN où le coefficient de dérive n'est pas borné, mais supposé uniquement à croissance linéaire. Ensuite certains cas particuliers de coefficients de diffusion non bornés sont aussi considérés. Nous montrons que le jeu admet un point d'équilibre de Nash via la preuve de l'existence de la solution de l'EDSR associée et lorsque la condition d'Isaacs généralisée est satisfaite. La nouveauté est que le générateur de l'EDSR, qui est multidimensionnelle, est de croissance linéaire stochastique par rapport au processus de volatilité. Le deuxième problème est aussi relatif au JDSNN mais les payoffs ont des fonctions d'utilité exponentielles. Les EDSRs associées à ce jeu sont de type multidimensionnelles et quadratiques en la volatilité. Nous montrons de nouveau l'existence d’un équilibre de Nash. Le dernier problème que nous traitons, est un jeu bang-bang qui conduit à des hamiltoniens discontinus. Dans ce cas, nous reformulons le théorème de vérification et nous montrons l’existence d’un équilibre de Nash qui est du type bang-bang, i.e., prenant ses valeurs sur le bord du domaine en fonction du signe de la dérivée de la fonction valeur ou du processus de volatilité. L'EDSR dans ce cas est un système multidimensionnel couplé, dont le générateur est discontinu par rapport au processus de volatilité. / This dissertation studies the multiple players nonzero-sum stochastic differential games (NZSDG) in the Markovian framework and their connections with multiple dimensional backward stochastic differential equations (BSDEs). There are three problems that we are focused on. Firstly, we consider a NZSDG where the drift coefficient is not bound but is of linear growth. Some particular cases of unbounded diffusion coefficient of the diffusion process are also considered. The existence of Nash equilibrium point is proved under the generalized Isaacs condition via the existence of the solution of the associated BSDE. The novelty is that the generator of the BSDE is multiple dimensional, continuous and of stochastic linear growth with respect to the volatility process. The second problem is of risk-sensitive type, i.e. the payoffs integrate utility exponential functions, and the drift of the diffusion is unbounded. The associated BSDE is of multi-dimension whose generator is quadratic on the volatility. Once again we show the existence of Nash equilibria via the solution of the BSDE. The last problem that we treat is a bang-bang game which leads to discontinuous Hamiltonians. We reformulate the verification theorem and we show the existence of a Nash point for the game which is of bang-bang type, i.e., it takes its values in the border of the domain according to the sign of the derivatives of the value function. The BSDE in this case is a coupled multi-dimensional system, whose generator is discontinuous on the volatility process.

Les travaux présentés dans ce mémoire ont pour but, à long terme, l'élaboration d'un outil interactif pour la chirurgie linguale, basé sur un modèle biomécanique tridimensionnel de la langue, et permettant à la fois d'évaluer les conséquences d'une chirurgie sur la mobilité linguale et de favoriser le planning et le guidage per-opératoire du geste chirurgical. Les études conduites à ce jour visent à étudier la faisabilité d'un tel outil.<br />La première partie de ce mémoire est consacrée à une description approfondie du modèle utilisé. Après une présentation de l'anatomie du conduit vocal et du contexte clinique, la géométrie du modèle est décrite avec précision (structure interne du modèle de langue et représentation des structures osseuses et molles du conduit vocal) ainsi que les hypothèses effectuées tant sur le plan de la modélisation biomécanique à l'aide d'un modèle hyperélastique que du contrôle moteur basé sur le modèle lambda du point d'équilibre. L'extraction de la filière aérique est alors introduite de même que le modèle de synthèse utilisé.<br />La seconde partie est centrée sur les résultats obtenus en parole naturelle et en parole pathologique. Les simulations réalisées ont permis de montrer que ce modèle était capable de générer les voyelles orales du français, avec des caractéristiques acoustiques proches des valeurs généralement observées et des formes de langue satisfaisantes. Des simulations similaires sont également présentées pour deux cas de chirurgie linguale : une hémiglossectomie et une résection élargie du plancher buccal.