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Approximating roots of polynomialsTorres Romero, Jesús Stefano 27 November 2021 (has links)
This work consists of applying methods of dynamical systems in complex variables to an applied
problem: nding the roots of an arbitrary polynomial.
Speci cally, we use the iteration z 7! z2 + c to nd the roots of a complex polynomial p(z).
By applying that iteration we can use concepts of complex analysis and linear algebra, such as the
Mandelbrot set and the Vandermonde matrix to tackle our problem.
We see how these ideas have applications in other contexts, such as number theory. We add
the discussion of pseudo code and code written in Python 3, for the sake of doing experiments
that illustrate the di erent sections of this thesis. This discussion let us analyse the computational
complexity of the algorithm on top of the mathematical discussion.
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Factorización de polinomios con dinámica complejaTorres Romero, Jesús Stéfano 26 February 2021 (has links)
Dentro del campo de las matemáticas, el problema de hallar las raíces de un polinomio es un problema fundamental. Este trabajo tiene como objetivo aplicar métodos de dinámica compleja e iteración de polinomios para resolver dicho problema. Partimos de ejemplos y buscamos las generalidades de los mismos con el objetivo de desarrollar un algoritmo general, que nos permita factorizar un polinomio arbitrario. Además, consideramos un análisis de los posibles limitaciones que presenta el algoritmo.
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Minimal possible counterexamples to the two-dimensional Jacobian ConjectureHorruitiner Mendoza, Rodrigo Manuel 12 June 2019 (has links)
Let K be an algebraically closed field of characteristic zero. The Jacobian Conjecture (JC) in dimension two stated by Keller in [8] says that any pair of polynomials P;Q ∈ L := K[x; y] with [P;Q] := axPayQ - axQayP ∈ Kx (a Jacobian pair )
defines an automorphism of L via x-> P and y -> Q. It turns out that the Newton polygons of such a pair of polynomials are closely related, and by analyzing them, much information can be obtained on conditions that a Jacobian pair must satisfy. Specifically, if there exists a Jacobian pair that does not define an automorphism (a counterexample) then their Newton polygons have to satisfy very restrictive geometric conditions. Based mostly on the work in [1], we present an algorithm to give precise geometrical descriptions of possible counterexamples. This means that, assuming (P;Q) is a counterexample to the Jacobian Conjecture with gcd(deg(P); deg(Q)) = k, we can generate the possible shapes of the Newton Polygon of P and Q and how it transforms under certain linear automorphisms. By analyzing the minimal possible counterexamples, we sketch a path to increase the lower bound of max(deg(P); deg(Q)) to 125 for a minimal possible counterexample to the Jacobian Conjecture. / Sea K un cuerpo algebraicamente cerrado de característica zero. La Conjetura del
Jacobiano en dimensión dos postulada por Keller en [8] dice que cualquier par de
polinomios P;Q ∈ L := K[x; y] with [P;Q] := axPayQ - axQayP ∈ Kx (un par
Jacobiano) define un automofismo de L via x-> P and y -> Q.
Resulta que los polígonos de Newton de tal par de polinomios están relacionados
íntimamente, y al analizarlos, mucha información puede ser obtenida sobre condiciones
que un par Jacobiano debe satisfacer. Específicamente, si existe un par Jacobiano
que no define un automorfismo (un contraejemplo) entonces sus polígonos de Newton
deben satisfacer condiciones geométricas bastante restrictivas.
Basado en gran parte en el trabajo en [1], presentamos un algoritmo para
dar una descripción geométrica precisa de posibles contraejemplos. Esto significa
que, asumiendo que (P;Q) es un contraejemplo a la Conjetura del Jacobiano con
gcd(deg(P); deg(Q)) = k, podemos generar las posibles formas del Polígono de
Newton de P y Q y cómo se transforman bajo ciertos automorfismos lineales.
Al analizar los posibles contraejemplos minimales, esbozamos un camino para
incrementar la cota inferior de max(deg(P); deg(Q)) a 125 para un posible
contraejemplo minimal a la Conjetura del Jacobiano. / Tesis
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Estudio del método de Galerkin discontinuo nodal aplicado a la ecuación de advección lineal 1DSosa Alva, Julio César 21 January 2019 (has links)
The present work focuses on Nodal Discontinuous Galerkin Method applied to the one-dimensional
linear advection equation, which approximates the global solution, partitioning its domain into elements.
In each element the local solution is approximated by using interpolation in such a way that
the total numerical solution is a direct sum of those approximations (polynomials). This method
aims at reaching a high order through a simple implementation. This model is studied by Hesthaven
and Warburton [16], with the particularity of Joining the best of the Finite Volumes Method and
the best of Finit Element Method .
First, the main results are revised in detail concerning the Jacobi orthogonal polynomials; more
precisely, its generation formula and other results which help implementing the method. Concepts
regarding interpolation and best approximation are studied. Furthermore, some notions about Sobolev
space interpolation is revised. Secondly, theoretical aspects of the method are explained in
detail , as well as its functioning. Thirdly, both the two method consistency theorems (better approximation
and interpolation), proposed by Canuto and Quarteroni [4], and error behavior theorem
based on Hesthaven and Warburton [16] are explained in detail. Finally, the consistency theorem
referred to the interpolation is veri ed numerically through the usage of the Python language as
well as the error behavior. It is worth mentioning that, from our numerical results, we propose a
new bound for the consistency (relation 4.2 (4.2)), whose demonstration will remain for a future
investigation. / El presente trabajo consiste en el estudio del método numérico Galerkin Discontinuo Nodal
aplicado a la ecuación de advección lineal unidimensional, el cual aproxima la solución global, particionando
su dominio en elementos. En cada elemento se aproxima la solución local usando interpolación;
de tal manera que la solución numérica total es una suma directa de dichas aproximaciones
(polinomios). El método busca alcanzar un alto orden mediante una implementación sencilla. Este
modelo es estudiado por Hesthaven y Warburton[16], con la particularidad de Fusionar lo mejor
del método de Volúmenes Finitos con lo mejor del método de Elementos Finitos .
Primero se revisan en detalle los principales resultados sobre los polinomios ortogonales de Jacobi;
más precisamente, su fórmula de generación y otros resultados que ayudan en la implementación
del método. Se estudian los conceptos de interpolación y mejor aproximación. Además, se revisan
algunas nociones de interpolación de espacios de Sobolev. Segundo, se detallan aspectos teóricos del
método, así como su funcionamiento. Tercero, se brinda en detalle tanto la demostración de los dos
teoremas de consistencia del método (mejor aproximación e interpolación) propuestos en Canuto
y Quarteroni[4] como el comportamiento del error basado en Hesthaven y Warburton [16] . Finalmente,
se veri ca numéricamente, mediante el uso del lenguaje Python, el teorema de consistencia
referido a interpolación, así como el comportamiento del error. Se propone una nueva cota para el
consistencia (relación (4.2)) basados en los resultados numéricos, cuya demostración quedará para
una futura investigación. / Tesis
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Teoría de Galois de ecuaciones diferenciales linealesHuaringa Mosquera, Suzanne Maria 06 August 2020 (has links)
En teoría de Galois clásica, las raíces de un polinomio f(X) ∈ K [X], sus raíces generan una extensión E del cuerpo K, llamado el cuerpo de descomposición E de f(X). En el presente trabajo estudiaremos su análogo en teoría de Galois diferencial. Si dotamos a un anillo de una operacion llamada derivación (que verifica las propiedades básicas de la derivada usual) llamaremos a este par, anillo diferencial. Veremos que dado un cuerpo diferencial K y un operador diferencial lineal homogéneo L definido sobre el, sus soluciones generan una extension diferencial E del cuerpo diferencial K, dicha extensión es llamada de Picard-Vessiot. Mostraremos con detalle la construcción de una extensión de Picard-Vessiot [1] y veremos que en efecto siempre es posible realizarla. También veremos que es única salvo K−isomorfismo diferencial. / Tesis
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Aplicações das bases de GroebnerSilva Junior, Danton Pereira da January 1999 (has links)
Neste trabalho estudamos os homomorfismos entre anéis de polinômios do ponto de vista da teoria de bases de Groebner. Em particular, determinamos o núcleo de um tal homomorfismo e desenvolvemos um método para determinar quando este é sobrejetivo. Estes resultados são então generalizados para anéis quocientes. O estudo de tais homomorfismos nos permite determinar os polinômos minimais de elementos em extensões de corpos, bem como encontrar soluções para um problema de programação inteira. / In this work we study the homomorphisms between polynomial rings as an application of the Groebner basis theory. In particular, we determine generators for the kemel of such a homomorphism and we give a method to determine whether it is onto. We then generalize these results to the case of quocient rings. The study of these homomorphisms allows us to determine mini mal polynomials of elements in field extensions, as well as to find solutions to an integer programming problem.
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Aplicações das bases de GroebnerSilva Junior, Danton Pereira da January 1999 (has links)
Neste trabalho estudamos os homomorfismos entre anéis de polinômios do ponto de vista da teoria de bases de Groebner. Em particular, determinamos o núcleo de um tal homomorfismo e desenvolvemos um método para determinar quando este é sobrejetivo. Estes resultados são então generalizados para anéis quocientes. O estudo de tais homomorfismos nos permite determinar os polinômos minimais de elementos em extensões de corpos, bem como encontrar soluções para um problema de programação inteira. / In this work we study the homomorphisms between polynomial rings as an application of the Groebner basis theory. In particular, we determine generators for the kemel of such a homomorphism and we give a method to determine whether it is onto. We then generalize these results to the case of quocient rings. The study of these homomorphisms allows us to determine mini mal polynomials of elements in field extensions, as well as to find solutions to an integer programming problem.
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A study of modified Hermite polynomials of two variables / A study of modified Hermite polynomials of two variablesAhmad Khan, Mumtaz, Hakim Khan, Abdul, Ahmad, Naeem 25 September 2017 (has links)
The present paper is a study of modied Hermite polynomials of two variables Hn(x; y; a) which for a = e reduces to Hermite polynomials of two variables Hn(x; y) due to M.A. Khan and G.S. Abukhammash. / El presente artculo se estudian polinomios modicados de Hermite de dos variables Hn(x; y; a) que para a = e se reducen a los polinomios de Hermite de dos variables Hn(x; y) introducidos por M.A. Khan y G.S.Abukhammash.
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Aplicações das bases de GroebnerSilva Junior, Danton Pereira da January 1999 (has links)
Neste trabalho estudamos os homomorfismos entre anéis de polinômios do ponto de vista da teoria de bases de Groebner. Em particular, determinamos o núcleo de um tal homomorfismo e desenvolvemos um método para determinar quando este é sobrejetivo. Estes resultados são então generalizados para anéis quocientes. O estudo de tais homomorfismos nos permite determinar os polinômos minimais de elementos em extensões de corpos, bem como encontrar soluções para um problema de programação inteira. / In this work we study the homomorphisms between polynomial rings as an application of the Groebner basis theory. In particular, we determine generators for the kemel of such a homomorphism and we give a method to determine whether it is onto. We then generalize these results to the case of quocient rings. The study of these homomorphisms allows us to determine mini mal polynomials of elements in field extensions, as well as to find solutions to an integer programming problem.
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Polinômios ortogonais em várias variáveis /Niime, Fabio Nosse. January 2011 (has links)
Orientador: Cleonice Fátima Bracciali / Banca: Fernando Rodrigo Rafaeli / Banca: Eliana Xavier Linhares de Andrade / Resumo: O objetivo des trabalho é estudar os polinômios ortogonais em várias variáveis com relação a um funcional linear, L e suas propriedades análogas às dos polinômios ortogonais em uma variável, tais como: a relação de três termos, a relação de recorrência de três termos, o teorema de Favard, os zeros comuns ea cubatura gaussiana. Além disso, apresentamos um método para gerar polinômios ortonormais em duas variáveis e alguns exemplos. / Abstract: The aim here is to study the orthogonal polynomials in several variables with respect to a linear functional, L. also, to study its properties analogous to orthogonal polynomials in one variable, such as the theree term relation, the three term recurrence relation, Favard's theorem, the common zeros and Gaussian cubature. A method to generating orthonormal polynomials in two variables and some examples are presented. / Mestre
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