Techn. Universiẗat, Diss., 2005--München.

In der vorliegenden Dissertation werden endlichdimensionale Räume multivariater Polynome in N Variablen mit der Laguerre-, Hermite- bzw. Legendrenorm versehen. Dabei sei der Höchstgrad der Polynome oder die Summe der Grade der Variablen durch eine natürliche Zahl n nach oben beschränkt. Wir betrachten auf diesen Räumen den Laplaceoperator und zwei weitere partielle Differentialoperatoren und interessieren uns für das Verhalten der von den Polynomnormen induzierten Operatornormen dieser Operatoren, wenn n gegen unendlich strebt. Im Fall der Laguerre- und Legendrenorm werden asymptotische obere und untere Schranken der Operatornormen hergeleitet. Im Fall der Hermitenorm kann sogar eine asymptotische Formel gezeigt werden, wenn man voraussetzt, dass der Höchstgrad der Poynome duch n beschränkt ist.

L'objectif visé dans ce travail consiste en la présentation du polynôme de Tutte, et ce à la manière de son idéateur, M. William Thomas Tutte. Nous dressons également un portrait de l'éventail des applications possibles de ce polynôme, notamment en théorie des graphes, en physique de la mécanique statistique, de même qu'en théorie des noeuds. À cet égard, nous faisons la démonstration que le polynôme de Tutte admet une spécialisation en terme de la fonction de partition d'un modèle de Potts, ainsi qu'en terme du polynôme de Jones d'un entrelacs alterné. Ce travail se conclut par une série de calculs sur les graphes 2-connexes et connexes, pour lesquels nous utilisons une équation fonctionnelle bien connue de la théorie des espèces, de même que des fonctions de poids bloc-multiplicatives. Ces calculs nous ont permis, entre autres, d'établir l'égalité entre le poids total des λ-flots à flux non nuls sur les graphes 2-connexes à quatre sommets et le nombre de marelles de longueur trois dans l'hypercube de dimension λ -1. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Polynôme de Tutte, Polynôme chromatique, Polynôme de flot, Polynôme de fiabilité, Polynôme de Jones, Entrelacs alterné, Fonction de partition, Modèle de Potts, Graphes 2-connexes.

Nous nous proposons d'étudier les polynômes de Macdonald en les mettant en parallèle avec les polynômes orthogonaux classiques. En effet, ces deux types d'objets apparaissent comme fonctions propres d'opérateurs à significations physiques, les polynômes orthogonaux intervenant dans des situations décrites par une seule variable et les polynômes de Macdonald dans d'autres en demandant plusieurs. En développant chacune des deux théories, nous constaterons qu'elles s'élaborent de façon analogue. Notre but est ainsi de faire ressortir ces points communs tout en dégageant les différences entre les deux contextes. En mettant en lumière ce parallèle, nous constaterons toutefois qu'il manque un élément pour qu'il soit complet. En effet, les polynômes orthogonaux satisfont une récurrence à trois termes qui leur est caractéristique. Or rien d'analogue n'est présent dans la théorie des polynômes de Macdonald. Mais nous verrons qu'une conjecture portant sur une famille élargie de polynômes de Macdonald a été formulée qui permettrait de compléter le tableau. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : polynômes orthogonaux, fonctions symétriques, polynômes de Macdonald, conjecture n!.

University, Diss., 2006--Kassel.

Zugl.: München, Techn. University, Diss., 2009.

La théorie sur les polynômes de Macdonald a fait l'objet d'une quantité importante de recherches au cours des dernières années. Définis originellement par Macdonald comme une généralisation de quelques-unes des bases les plus importantes de l'anneau des fonctions symétriques, ces polynômes ont des applications dans des domaines tels que la théorie des représentations des groupes quantiques et physique des particules. Ce travail présente quelques-uns des résultats combinatoires les plus importants entourant ces polynômes, en mettant particulièrement l'accent sur la formule combinatoire prouvée récemment par Haglund, Haiman et Loehr pour les polynômes de Macdonald. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Polynômes de Macdonald, Fonctions symétriques, Combinatoire algébrique, Combinatoire énumérative, Théorie des représentations, Géométrie algébrique.

L'introduction des polynômes de Macdonald (Macdonald, 1988) comme des vecteurs propres associés à certains opérateurs reliés à la physique et comme une généralisation de quelques-unes des bases les plus importantes de l'anneau des fonctions symétriques, a donné lieu à un nombre remarquable de résultats dans divers domaines de l'algèbre, la combinatoire et la géométrie algébrique, entre autres. Ce travail présente un des liens entre la théorie des fonctions symétriques et la théorie des représentations des groupes, donné par les polynômes de Macdonald et les modules de Garsia-Haiman. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Combinatoire algébrique, Combinatoire énumérative, Fonctions symétriques, Modules de Garsia-Haiman, Polynômes de Macdonald, Théorie des représentations.

Ce document est divisé en deux parties principales. La première partie concerne les résultats que nous avons obtenu au travers de diverses collaborations sur les communications dans les réseaux. Afin de ne pas multiplier les chapitres dans cette partie, nous avons choisi en premier lieu de présenter l'évolution du contexte des réseaux sur lesquels j'ai travaillé durant ces 10 dernières années. En particulier, nous montrons plusieurs facettes que peut recouvrir l'expression \textbf{communications optiques}. Dans un deuxième temps, nous avons regroupé les problèmes abordés en deux chapitres: - le premier s'intéresse à des aspects structurels des graphes utiles pour la construction de protocoles de communication dans les réseaux. - le second aborde une problématique importante dans le contexte actuel de la recherche de la compétitivité: l'optimisation de ressources. La deuxième partie s'intéresse à deux représentations de graphes qui s'avèrent pertinentes pour les problèmes considérés. Elle présente deux problèmes principaux donnant deux chapitres indépendants. Le premier problème abordé dans cette partie concerne un très vieux (au sens informatique) problème issu de la théorie de flots: les flots multi-terminaux. Nous nous sommes attachés à montrer la puissance d'un outil permettant de représenter ces types de flots: les arbres de Gomory-Hu, ainsi que leur utilité dans une version paramétrée du problème. Le second problème présente au travers du calcul du polynôme chromatique une représentation des graphes sous la forme d'arbre de cliques augmenté.

We present an $hp$-adaptive strategy that is based on estimating the decay of the expansion coefficients when a function is expanded in $L^2$-orthogonal polynomails on a triangle or a tetrahedron. This method is justified by showing that the decay of the coefficients is exponential if and only if the function is analytic. Numerical examples illustrate the performance of this approach, and we compare it with two other $hp$-adaptive strategies.