Sejam f:(C^2,0) to (C^3,0) um germe de aplicação holomorfa de coposto 1 e f_t uma perturbação estável de f. Os pontos singulares de f_t são cross-caps, pontos duplos ou pontos triplos. O número de cross-caps e pontos triplos de f_t e o número de Milnor da curva de pontos duplos de f_t são invariantes do germe f. Neste trabalho estudamos fórmulas para obter estes invariantes e no caso dos germes quasi-homogêneos relacionamos estes invariantes com a A_e-codimensão de f. / Let f:(C^2,0) to (C^3,0) be a holomorphic map-germ with corank 1 and f_t a stable perturbation of f. The singular points of f_t are either cross-caps, double points or triple points. The number of cross-caps and the number of triple points of f_t and the Milnor number of the double points curve of f_t are invariants of the germs f. In this work we study formulas to get these invariants and in the case of quasi-homogeneous germs we relate these invariants with the A_e-codimension of f.

Sejam f:(C^2,0) to (C^3,0) um germe de aplicação holomorfa de coposto 1 e f_t uma perturbação estável de f. Os pontos singulares de f_t são cross-caps, pontos duplos ou pontos triplos. O número de cross-caps e pontos triplos de f_t e o número de Milnor da curva de pontos duplos de f_t são invariantes do germe f. Neste trabalho estudamos fórmulas para obter estes invariantes e no caso dos germes quasi-homogêneos relacionamos estes invariantes com a A_e-codimensão de f. / Let f:(C^2,0) to (C^3,0) be a holomorphic map-germ with corank 1 and f_t a stable perturbation of f. The singular points of f_t are either cross-caps, double points or triple points. The number of cross-caps and the number of triple points of f_t and the Milnor number of the double points curve of f_t are invariants of the germs f. In this work we study formulas to get these invariants and in the case of quasi-homogeneous germs we relate these invariants with the A_e-codimension of f.

[pt] O objetivo desta pesquisa é estudar as propriedades geométricas e topológicas de curvas genéricas imersas no plano. Neste caso ser genérica significa que a curva só pode ter pontos duplos sem tangentes comuns nas duas passagens. Pode-se nomear as n singularidades da curva usando símbolos como a1, ... , an. Percorrendo a curva, produz-se uma palavra cíclica de tamanho 2n. Entretanto, nem toda palavra está relacionada a uma curva plana, há requisitos sobre a sua combinatória, o primeiro dos quais foi descoberto por Gauss. Avanços foram realizados no estudo de curvas localmente convexas no plano, na esfera e no plano projetivo. / [en] The aim of this work is to study the topological and geometric properties of closed generic immersed curves in the plane. In this case, generic means that the curve can only have double points without a common tangent. One can label the singularities using n symbols, such as a1, ... , an. Going around the curve, a cyclic word of length 2n is produced. However, not every word is related to a planar curve, there are requirements on its combinatorics, the first of which was found by Gauss. Advances were made in the study of locally convex curves on the plane, the sphere and the projective plane.