Tato diplomová práce se zabývá problematikou spojitého optimálního řízení, což je jedna z nejvýznamnějších aplikací teorie diferenciálních rovnic. Cílem této práce bylo jak nastudování matematické teorie optimálního řízení, tak především ukázat užití Pontrjaginova principu maxima a Bellmanova principu optimality při řešení vybraných úloh optimálního řízení. Důraz byl kladen především na problematiku časově a energeticky optimálního řízení elektrického vlaku, při zahrnutí kvadratické odporové funkce.

Πολλά είναι τα προβλήματα απόφασης τα οποία μπορούν να μοντελοποιηθούν ως προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού. Πολλές όμως είναι και οι καταστάσεις όπου δεν είναι λογικό να υποτεθεί ότι οι παράμετροι του μοντέλου καθορίζονται προσδιοριστικά. Για παράδειγμα, μελλοντικές παραγωγικότητες σε ένα πρόβλημα παραγωγής, εισροές σε μία δεξαμενή που συνδέεται με έναν υδροσταθμό παραγωγής ηλεκτρικού ρεύματος, απαιτήσεις στους διάφορους κόμβους σε ένα δίκτυο μεταφορών κλπ, είναι καταλληλότερα μοντελοποιημένες ως αβέβαιες παράμετροι, οι οποίες χαρακτηρίζονται στην καλύτερη περίπτωση από τις κατανομές πιθανότητας. Η αβεβαιότητα γύρω από τις πραγματοποιημένες τιμές εκείνων των παραμέτρων δεν μπορεί να εξαλειφθεί πάντα εξαιτίας της εισαγωγής των μέσων τιμών τους ή μερικών άλλων (σταθερών) εκτιμήσεων κατά τη διάρκεια της διαδικασίας μοντελοποίησης. Δηλαδή ανάλογα με την υπό μελέτη κατάσταση, το γραμμικό προσδιοριστικό μοντέλο μπορεί να μην είναι το κατάλληλο μοντέλο για την περιγραφή του προβλήματος που θέλουμε να λύσουμε. Σε αυτή τη διπλωματική υπογραμμίζουμε την ανάγκη να διευρυνθεί το πεδίο της μοντελοποίησης των προβλημάτων απόφασης που παρουσιάζονται στην πραγματική ζωή με την εισαγωγή του στοχαστικού προγραμματισμού. / There are many practical decision problems than can be modeled as linear programs. However, there are also many situations that it is unreasonable to assume that the coefficients of model are deterministically fixed. For instance, future productivities in a production problem, inflows into a reservoir connected to a hydro power station, demands at various nodes in a transportation network, and so on, are often appropriately modeled as uncertain parameters, which are at best characterized by probability distributions. The uncertainty about the realized values of those parameters cannot always be wiped out just by inserting their mean values or some other (fixed) estimates during the modelling process. That is, depending on the practical situation under consideration, the linear deterministic model may not be the appropriate model for describing the problem we want to solve. In this project we emphasize the need to broaden the scope of modelling real life decision problems by inserting stochastic programming.

Nous considérons des processus de diffusion, définis par des équations différentielles stochastiques, et puis nous nous intéressons à des problèmes de premier passage pour les chaînes de Markov en temps discret correspon- dant à ces processus de diffusion. Comme il est connu dans la littérature, ces chaînes convergent en loi vers la solution des équations différentielles stochas- tiques considérées. Notre contribution consiste à trouver des formules expli- cites pour la probabilité de premier passage et la durée de la partie pour ces chaînes de Markov à temps discret. Nous montrons aussi que les résultats ob- tenus convergent selon la métrique euclidienne (i.e topologie euclidienne) vers les quantités correspondantes pour les processus de diffusion. En dernier lieu, nous étudions un problème de commande optimale pour des chaînes de Markov en temps discret. L’objectif est de trouver la valeur qui mi- nimise l’espérance mathématique d’une certaine fonction de coût. Contraire- ment au cas continu, il n’existe pas de formule explicite pour cette valeur op- timale dans le cas discret. Ainsi, nous avons étudié dans cette thèse quelques cas particuliers pour lesquels nous avons trouvé cette valeur optimale. / We consider diffusion processes, defined by stochastic differential equa- tions, and then we focus on first passage problems for Markov chains in dis- crete time that correspond to these diffusion processes. As it is known in the literature, these Markov chains converge in distribution to the solution of the stochastic differential equations considered. Our contribution is to obtain ex- plicit formulas for the first passage probability and the duration of the game for the discrete-time Markov chains. We also show that the results obtained converge in the Euclidean metric to the corresponding quantities for the diffu- sion processes. Finally we study an optimal control problem for Markov chains in discrete time. The objective is to find the value which minimizes the expected value of a certain cost function. Unlike the continuous case, an explicit formula for this optimal value does not exist in the discrete case. Thus we study in this thesis some particular cases for which we found this optimal value.

No description available.