O estudo da dinâmica de populações vem adquirindo grande importância atualmente, por suas aplicações nas mais diversas áreas do conhecimento, como a biologia evolutiva, ecologia, economia e computação, entre outras. O uso de redes, ou autômatos celulares, para modelar dinâmicas populacionais é um recurso frequentemente utilizado por sua simplicidade no tratamento de problemas com alto grau de complexidade. Neste trabalho utilizamos autômatos celulares para simular dinâmicas populacionais onde analisamos transições de fases longe do equilíbrio em modelos de replicação em uma e duas dimensões, classificando-as de acordo com suas classes de universalidade. Também utilizamos redes para estudar as possíveis origens dos ciclos primos presentes nas cigarras do gênero Magicicada que habitam a América do Norte, mostrando que a predação não é necessária para o surgimento deste comportamento. / The study of population dynamics becomes even more important nowadays because of its applications in a wide range of subjects, such as evolutive biology, ecology, economics and computational sciences, among many others. The use of networks, as well as cellular automata, to simulate populational dynamics is an ordinary tool because of its simplicity in the treatement of very complicated problems. In this work we use cellular automata to simulate populational dynamics where non equilibrium phase transitions in replicator models in one and two dimensions are analyzed and characterized by their universality classes. We also use cellular automata to study the possible origins of prime number cycling present in northern american Magicicada, showing that it is possible to generate prime number year life cycles whithout any predation effects.

O estudo da dinâmica de populações vem adquirindo grande importância atualmente, por suas aplicações nas mais diversas áreas do conhecimento, como a biologia evolutiva, ecologia, economia e computação, entre outras. O uso de redes, ou autômatos celulares, para modelar dinâmicas populacionais é um recurso frequentemente utilizado por sua simplicidade no tratamento de problemas com alto grau de complexidade. Neste trabalho utilizamos autômatos celulares para simular dinâmicas populacionais onde analisamos transições de fases longe do equilíbrio em modelos de replicação em uma e duas dimensões, classificando-as de acordo com suas classes de universalidade. Também utilizamos redes para estudar as possíveis origens dos ciclos primos presentes nas cigarras do gênero Magicicada que habitam a América do Norte, mostrando que a predação não é necessária para o surgimento deste comportamento. / The study of population dynamics becomes even more important nowadays because of its applications in a wide range of subjects, such as evolutive biology, ecology, economics and computational sciences, among many others. The use of networks, as well as cellular automata, to simulate populational dynamics is an ordinary tool because of its simplicity in the treatement of very complicated problems. In this work we use cellular automata to simulate populational dynamics where non equilibrium phase transitions in replicator models in one and two dimensions are analyzed and characterized by their universality classes. We also use cellular automata to study the possible origins of prime number cycling present in northern american Magicicada, showing that it is possible to generate prime number year life cycles whithout any predation effects.

Neste trabalho estudamos alguns modelos estocásticos reversíveis e irreversíveis por meio de varias técnicas que incluem expansões em serie, simulações numéricas e métodos analíticos. Primeiramente, construímos uma expansão supercrítica para a densidade do processo de contato em uma dimensão, que fornece a taxa crítica e o expoente crítico pelo método de aproximantes de Pad´e. Depois, examinamos um modelo de pilha de areia com restrição de altura assimétrico que apresenta fluxo de partículas não-nulo no estado estacionário e suas propriedades criticas são determinadas em função do parâmetro de assimetria p. Finalmente, estudamos de forma analítica o modelo de Glauber linear, que é idêntico, em uma dimensão, ao modelo de Glauber. Em qualquer numero de dimensões, e possível obter uma expressão para a susceptibilidade do modelo de Glauber linear a partir da expansao em s´erie perturbativa, cujos coeficientes são determinados em todas as ordens. Também discutimos como generalizar esse método para obter expansões em série para o modelo de Glauber em duas dimensões. / In this work we study some reversible and irreversible stochastic models using various techniques that include series expansions, numerical simulations and analytical methods. Firstly we write a supercritical series expansion of the particle density of the one-dimensional contact process, which gives us the critical annihilation rate and critical exponent ¯ after using the Pad´e approximants method. Secondly we examine the assimetric height restricted sandpile model, which presents a non-zero particle flux at the stationary active state and its critical properties are determined as a function of the assimetry parameter p. Finally we study analitically the linear Glauber model, which is identical in one dimension to the Glauber model. It is possible in any dimension to obtain an expression of the susceptibility of the linear Glauber model from a perturbative series expansion in which the coefficients can be determined at all orders. We also discuss how to generalize the method in order to obtain a series expansion for the Glauber model in two dimensions.

Made available in DSpace on 2014-12-17T15:14:49Z (GMT). No. of bitstreams: 1 MarcelaQL.pdf: 1658232 bytes, checksum: 14c39af435f75cedf1c335731be8c983 (MD5) Previous issue date: 2008-12-08 / Coordena??o de Aperfei?oamento de Pessoal de N?vel Superior / We study the critical behavior of the one-dimensional pair contact process (PCP), using the Monte Carlo method for several lattice sizes and three different updating: random, sequential and parallel. We also added a small modification to the model, called Monte Carlo com Ressucitamento" (MCR), which consists of resuscitating one particle when the order parameter goes to zero. This was done because it is difficult to accurately determine the critical point of the model, since the order parameter(particle pair density) rapidly goes to zero using the traditional approach. With the MCR, the order parameter becomes null in a softer way, allowing us to use finite-size scaling to determine the critical point and the critical exponents β, ν and z. Our results are consistent with the ones already found in literature for this model, showing that not only the process of resuscitating one particle does not change the critical behavior of the system, it also makes it easier to determine the critical point and critical exponents of the model. This extension to the Monte Carlo method has already been used in other contact process models, leading us to believe its usefulness to study several others non-equilibrium models / Neste trabalho investigamos as propriedades cr?ticas do processo de contato por par (PCP) unidimensional usando o m?todo Monte Carlo, simulando-o para v?rios tamanhos de rede e diferentes tempos de relaxa??o, e utilizando tr?s tipos de atualiza??o: aleat?ria, sequ?ncial e paralela. Em nossas simula??es acrescentamos uma pequena modifica??es ao modelo PCP a qual denominamos M?todo de Monte Carlo com Ressuscitamento (MCR). Ela consiste em ressuscitarmos uma part?cula do sistema quando o par?metro de ordem (densidade de pares de part?culas) se anula. Fazemos isto porque em muitos modelos de n?o equil?brio, como ? o caso do PCP, na vizinhan?a do ponto cr?tico, o par?metro de ordem se anula rapidamente, dificultando a identifica??o precisa deste ponto. Com o ressuscitamento de uma part?cula do sistema contornamos este problema, pois a curva do par?metro de ordem vai a zero de forma mais suave durante a transi??o, onde produz um ponto de inflex?o que equivale ao ponto cr?tico. Desta forma podemos aplicar algumas rela??es de escala para estimarmos o ponto e os expoentes cr?ticos. Aplicamos a t?cnica de an?lise de escala de tamanho finito para determinamos o ponto cr?tico e estimarmos os expoentes cr?ticos β, ν e z. Nossos resultados mostram-se consistentes com os j? estabelecidos na literatura para o modelo PCP, mostrando que o fato de ressuscitarmos uma part?cula n?o faz o sistema mudar o seu comportamento cr?tico, mas facilita a determina??o do ponto cr?tico e dos expoentes cr?ticos do modelo. Esta extens?o ao m?todo Monte Carlo tamb?m tem sido usada com sucesso no estudo de outros modelos de processos de contato. Por esta raz?o acreditamos que ela seja ?til para estudar uma grande variedade de modelos de n?o equil?brio

Made available in DSpace on 2014-12-17T15:14:58Z (GMT). No. of bitstreams: 1 PauloCSF_TESE_Capa_ate_pag81.pdf: 4433368 bytes, checksum: 06cfa4d0f9685f006b4bb4485cfde49a (MD5) Previous issue date: 2005-02-25 / Coordena??o de Aperfei?oamento de Pessoal de N?vel Superior / Neste trabalho, apresentamos algumas contribui??es cient?ficas ao estudo de modelos estoc?sticos: processo de contato, s?ries aleat?rias e processos difusivos.Inicialmente, usaremos o m?todo de busca autom?tica (MBA) para estudar as propriedades cr?ticas do processo de contato, o qual apresenta transi??o de fases de n?o-equil?brio. O processo de contato pode ser visto como um modelo para a propaga??o de uma epidemia simples tendo sido introduzido por T. E. Harris (em 1974), como um modelo de propaga??o de epidemia sem tempo de imuniza??o. Neste contexto, tratamos este problema de uma forma simplificada, quando o indiv?duo infectado ? curado, com taxa de cura ?, torna-se suscet?vel novamente a re-infec??o. Asiim este sistema ? chamado de SIS: suscet?vel-infectado-suscet?vel. Em seguida, usando o m?todo de monte Carlo, trataremos deste problema com a inclus?o de tempo, isto ?, em dois casos particulares: tempo de enfermidade e tempo de imunidade. No primeiro caso, um indiv?duo infectado, com taxa de contamina??o ?e, permanece neste estado por um tempo de enfermidade tc para depois tornar-se sadio espontaneamente. No segundo caso, um indiv?duo que foi curado, com taxa de cura ?, permanece neste estado por um tempo de imuniza??o ti para depois tornar-se suscet?vel. Assim, estudamos a evolu??o cr?tica do sistema quando inclu?mos, em casos distintos, tempo de enfermidade e tempo de imuniza??o, sendo analisado o com?portamento do sistema para tempos longos. Conclu?mos esta parte estudando MBA no contexto da criticalidade auto-organizada (CAO), fazendo uso do modelo do processo de contato. Deste modo, a s?rie temporal da taxa de cura ?, na regi?o cr?tica, ? analisada usando duas t?cnicas complementares da mec?nica estat?stica: an?lise de Fourier c DFA Detrended Fluctuation Analysis. Tamb?m apresentamos uma an?lise de Histograma. No estudo de s?ries aleat?rias temporais obtidas a partir de sinais de ?udio, analisamos nove (9) g?neros musicais: forr?, tecno-dance, m?sica popular brasileira (MPB), rock and roll, jazz, m?sica javanesa, new age, m?sica indiana e m?sica cl?ssica. As s?ries temporais s?o analisadas usando as t?cnicas: an?lise de Fourier, DFA (modificado) e an?lise de Histograma, que medem o grau de complexidade do sinal em estudo. No ?ltimo trabalho desta tese, apresentamos uma breve revis?o no estudo de processos difusivos abrangendo a equa??o de difus?o usual (obtida pela lei de Fick), o movimento browniano, a equa??o de Lagevin, a equa??o de Fokker-Planck no contexto de difus?o, e estendemos nossa discuss?o aos processos difusivos an?malos. Neste contexto, analisamos a equa??o de Fokker-Planck n?o linear multidimensional num meio anisotr?pico, obtendo suas solu??es estacion?rias e as dependentes do tempo, para v?rias situa??es f?sicas. Por ?ltimo, investigamos os efeitos transversais induzidos por uma for?a externa aplicada ao sistema. Tamb?m conectamos as solu??es achadas aqui com a distribui??o que emerge da estat?stica n?o extensiva de Constantino Tsallis. Finalmente, apresentamos nossas conclus?es e poss?veis extens?es desta tese

Neste trabalho estudamos alguns modelos estocásticos reversíveis e irreversíveis por meio de varias técnicas que incluem expansões em serie, simulações numéricas e métodos analíticos. Primeiramente, construímos uma expansão supercrítica para a densidade do processo de contato em uma dimensão, que fornece a taxa crítica e o expoente crítico pelo método de aproximantes de Pad´e. Depois, examinamos um modelo de pilha de areia com restrição de altura assimétrico que apresenta fluxo de partículas não-nulo no estado estacionário e suas propriedades criticas são determinadas em função do parâmetro de assimetria p. Finalmente, estudamos de forma analítica o modelo de Glauber linear, que é idêntico, em uma dimensão, ao modelo de Glauber. Em qualquer numero de dimensões, e possível obter uma expressão para a susceptibilidade do modelo de Glauber linear a partir da expansao em s´erie perturbativa, cujos coeficientes são determinados em todas as ordens. Também discutimos como generalizar esse método para obter expansões em série para o modelo de Glauber em duas dimensões. / In this work we study some reversible and irreversible stochastic models using various techniques that include series expansions, numerical simulations and analytical methods. Firstly we write a supercritical series expansion of the particle density of the one-dimensional contact process, which gives us the critical annihilation rate and critical exponent ¯ after using the Pad´e approximants method. Secondly we examine the assimetric height restricted sandpile model, which presents a non-zero particle flux at the stationary active state and its critical properties are determined as a function of the assimetry parameter p. Finally we study analitically the linear Glauber model, which is identical in one dimension to the Glauber model. It is possible in any dimension to obtain an expression of the susceptibility of the linear Glauber model from a perturbative series expansion in which the coefficients can be determined at all orders. We also discuss how to generalize the method in order to obtain a series expansion for the Glauber model in two dimensions.

Utilizamos um formalismo de operadores e a técnica de grupo de renormalizacao de Dasgupta, Ma e Hu para analisar o efeito de distribuições inomogêneas dos parâmetros sobre o comportamento crítico de um modelo estocástico simples. O processo de contato em uma dimensão constitui talvez o modelo mais simples que apresenta uma transição de fase para um estado absorvente. Nós usamos as seqüências de Fibonacci, duplicação de período e triplicação de período para introduzir inomogeneidades aperiódicas no processo de contato unidimensional e em uma cadeia quântica de spin. Usando procedimento de grupo de renormalização de desordem forte, estabelecemos algumas relações entre propriedades dos operadores renormalizados e grandezas termodinâmicas ou médias. Fomos capazes de testar o critério de relevância de flutuações geométricas de Harris-Luck, de obter vários expoentes críticos, e de observar aspectos característicos de dinâmica lenta e oscilações log-periódicas. A sequência de triplicação de período nos leva aos expoentes = ln (7/9)/ ln (4/9), = ln (9/7)/ ln 4, = ln 3/ ln (3/2) e k = ln 2/ ln (3/2). Usamos técnicas de Monte Carlo para confirmar os resultados de grupo de renormalização. As simulações numéricas indicam a validade do critério de relevância de Harris-Luck, e corroboram o caráter universal do comportamento crítico desses sistemas aperiódicos. / We use an operator formalism and the renormalization-group technique of Dasgupta, Ma and Hu to analyze the effects of a nonhomogeneous distribution of parameters on the critical behavior of simple stochastic model system. The contact process in one dimension is perhaps the simplest model to display a phase transition to an absorbing stationary state. We use the Fibonacci, period-doubling and period-tripling sequences for introducing aperiodic inhomogeneities in the one dimensional contact process and in a quantum Ising chain. Using strong-disorder renormalization-group procedures, we establish some relations between properties of renormalized operator and of thermodynamic or mean quantities. We were able to test a well-known criterion of relevance of geometric fluctuations, to obtain a number of critical exponents, and to point out features of slow-dynamics and log-periodic oscillations. The period-tripling sequence leads to the critical exponents = ln (7/9)/ ln (4/9), = ln (9/7)/ ln 4, = ln 3/ ln (3/2) and k = ln 2/ ln (3/2). We then used Monte Carlo techniques to check renormalization-group results. The numerical simulations indicate the validity of the Harris-Luck criterion of relevance of the geometric fluctuations, and generally support the universal character of the critical behavior of these aperiodic systems.

Made available in DSpace on 2015-03-26T13:35:26Z (GMT). No. of bitstreams: 1 texto completo.pdf: 5424847 bytes, checksum: cd6fd3b0108aa360c842209f90fe91d5 (MD5) Previous issue date: 2007-07-30 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / There is much current interest in understanding the dynamic principles that generate patterns in space and time. In biology, the complexity of self-organized patterns are seen from colonies of bacterias, of social insects to the human society. Among these, animal foraging patterns associated to the strategies of systematic search for food sources are included. In this dissertation we propose a model for the foraging of underground termites; such model consists of termites that build tunnels in a infinite two-dimensional space subject to a fixed density of food distributed at random. Each tunnel advances for successive segments of unitary length, with directions deviating from that of it predecessor for an aleatory angle evenly distributed between . -α and α . Each termite is characterized by a gain factor gk, and an activity A(t) that evolves in time according to expression: Ak(t + 1) = tanh(Ak(t)gk). If this activity reaches a minimum value, the termite returns to the nest, restoring your activity to the maximum (A=1). Each tunnel is characterized by quantity of pheromone trail that increases when a termite finds food or enters in that tunnel. However, the quantity of pheromone in a tunnel is reduced at a given rate after each time step, that is, after the progress of all tunnels. After tl time steps, new termites penetrate in tunnels; the choice in which of them to enter is proportional to the amount of pheromone. Finally a tunnel can bifurcate, creating a new one, if the amount of termites in it overcome a fixed value. In addition to the structure of the foraging tunnels, we modeled the social facilitation in termites inside a tunnel of size L. In this model, a termite will be inactive if your activity reach a minimum value Amin. If two termites encounter, their activities are restored to the maximum. The foraging efficiency associated to the tunnels is characterized as a function of the maximum deviation angle α , the pheromone decay rate and the number of termites inside of a tunnel necessary for the creation of a new one. For the process of social facilitation we presented the evolution in time of density of active termites. The spatio-temporal patterns for tunnels formation and social facilitation process are also presented. / Há um grande interesse no entendimento dos princípios dinâmicos que dão origem aos padrões espaço-temporais gerados por organismos vivos. Padrões auto-organizados complexos são vistos desde colônias de bactérias, de insetos sociais até a sociedade humana. Entre eles encontram-se os padrões de forrageamento animal associados a estratégias de busca sistemática por fontes de alimento. Nesta dissertação propomos um modelo para o forrageamento de cupins subterrâneos; tal modelo consiste de cupins que constroem túneis em um plano bidimensional infinito sujeito a uma densidade fixa de alimento distribuída aleatoriamente. Cada túnel avança por sucessivos segmentos lineares de comprimento unitário cujas direções desviam-se das dos seus antecessores por um ângulo aleatório distribuído uniformemente entre. -α e α. Cada cupim é caracterizado por um fator de ganho gk e uma atividade A(t) que evolui no tempo de acordo com a expressão: Ak (t+1) = tanh (Ak(t) gk). Se essa atividade atingir um valor mínimo, o cupim volta para o ninho, restaurando sua atividade ao máximo (A=1). Cada túnel é caracterizado por uma quantidade de feromônio de trilha que aumenta quando um cupim encontra comida ou entra nesse túnel. Porém, a quantidade de feromônio no túnel é reduzida em uma dada taxa depois de cada passo de tempo, isto é, após ser feito o avanço de todos os túneis. A cada tl passos de tempo, novos cupins penetram nos túneis; a escolha em qual deles entrar é proporcional à quantidade de feromônio. Finalmente um túnel poderá bifurcar, dando origem a um novo túnel, se a quantidade de cupins neste superar um valor fixado. Além da estrutura dos túneis de forrageamento, modelamos a facilitação social em cupins dentro de um túnel de tamanho L. Nesse modelo um cupim ficará inativo se sua atividade atingir um valor mínimo Amin. Caso dois cupins se encontrem, suas atividades são restauradas ao máximo. A eficiência do forrageamento por meio de túneis é caracterizada em função do ângulo máximo de desvio α , da taxa de decaimento de feromônio e do número de cupins dentro de um túnel necessários para a criação de um novo túnel. Para o processo de facilitação social apresentamos como a densidade de cupins ativos variam no tempo. Os padrões espaço-temporais tanto para a formação de túneis quanto para o processo de facilitação social também são apresentados.

Utilizamos um formalismo de operadores e a técnica de grupo de renormalizacao de Dasgupta, Ma e Hu para analisar o efeito de distribuições inomogêneas dos parâmetros sobre o comportamento crítico de um modelo estocástico simples. O processo de contato em uma dimensão constitui talvez o modelo mais simples que apresenta uma transição de fase para um estado absorvente. Nós usamos as seqüências de Fibonacci, duplicação de período e triplicação de período para introduzir inomogeneidades aperiódicas no processo de contato unidimensional e em uma cadeia quântica de spin. Usando procedimento de grupo de renormalização de desordem forte, estabelecemos algumas relações entre propriedades dos operadores renormalizados e grandezas termodinâmicas ou médias. Fomos capazes de testar o critério de relevância de flutuações geométricas de Harris-Luck, de obter vários expoentes críticos, e de observar aspectos característicos de dinâmica lenta e oscilações log-periódicas. A sequência de triplicação de período nos leva aos expoentes = ln (7/9)/ ln (4/9), = ln (9/7)/ ln 4, = ln 3/ ln (3/2) e k = ln 2/ ln (3/2). Usamos técnicas de Monte Carlo para confirmar os resultados de grupo de renormalização. As simulações numéricas indicam a validade do critério de relevância de Harris-Luck, e corroboram o caráter universal do comportamento crítico desses sistemas aperiódicos. / We use an operator formalism and the renormalization-group technique of Dasgupta, Ma and Hu to analyze the effects of a nonhomogeneous distribution of parameters on the critical behavior of simple stochastic model system. The contact process in one dimension is perhaps the simplest model to display a phase transition to an absorbing stationary state. We use the Fibonacci, period-doubling and period-tripling sequences for introducing aperiodic inhomogeneities in the one dimensional contact process and in a quantum Ising chain. Using strong-disorder renormalization-group procedures, we establish some relations between properties of renormalized operator and of thermodynamic or mean quantities. We were able to test a well-known criterion of relevance of geometric fluctuations, to obtain a number of critical exponents, and to point out features of slow-dynamics and log-periodic oscillations. The period-tripling sequence leads to the critical exponents = ln (7/9)/ ln (4/9), = ln (9/7)/ ln 4, = ln 3/ ln (3/2) and k = ln 2/ ln (3/2). We then used Monte Carlo techniques to check renormalization-group results. The numerical simulations indicate the validity of the Harris-Luck criterion of relevance of the geometric fluctuations, and generally support the universal character of the critical behavior of these aperiodic systems.

Áreas como política, economia e marketing sofrem grandes influências no que diz respeito à difusão de informação. Por este motivo, diversos ramos da ciência tem estudado tais fenômenos a fim de simulá-los e compreendê-los por meio de modelos matemáticos e/ou estocásticos. Em virtude disto, este trabalho de doutorado tem como objetivo generalizar modelos de difusão de inovação já existentes na literatura. O primeiro modelo utiliza o mecanismo de social reinforcement para difusão de inovação e o qual foi construído para o grafo completo. Neste caso, consideramos uma população finita, fechada, totalmente misturada e subdividida em quatro classes de indivíduos denominados ignorantes, conscientes, adotadores e abandonadores da inovação. Assim, será apresentado uma Lei Fraca dos Grandes Números e um Teorema Central do Limite para a proporção final da população que nunca escutou sobre a inovação e aqueles que já conhecem sobre ela mas ainda não adotaram. Ademais, também será apresentado um resultado de convergência para o máximo de adotadores em um intervalo estocástico, assim como o instante de tempo em que o processo atinge esse estado. Para esse estudo, foram utilizados resultados da teoria de cadeias de Markov dependentes da densidade. Ademais, formulamos um modelo estocástico com estrutura de estágios para descrever o fenômeno da difusão de inovação em uma população estruturada. Mais precisamente, propomos uma cadeia de Markov a tempo contínuo definida na rede hipercúbica d-dimensional. Cada indivíduo da população deve estar em algum dos M+1 estados pertencentes ao conjunto {0;1;2; ::;M}. Nesse sentido, 0 representa um ignorante, i para i ∈ {1; :::;M - 1} um consciente no estágio i e M um adotador. Dessa forma, são estudados argumentos que permitem encontrar condições suficientes nas quais a inovação se espalha ou não com probabilidade positiva. / Areas such as politics, economics and marketing are heavily influential in terms of information diffusion. For this reason, several branches of science have studied such phenomena in order to simulate and understand them by mathematical and/or stochastic models. In this context, this phd project aims to generalize innovation diffusion models that there is in the literature. The first model uses the social reinforcement mechanism for diffusion of innovation and which was built for the complete graph. In this case, we consider a finite population, closed, totally mixed and subdivided into four classes of individuals called ignorants, aware, adopters and abandoner of innovation. We prove a Law of Large Numbers and a Central Limit Theorem for the proportion of the population who have never heard about the innovation and those who know about ir but they have not adopted it yet. In addition, we also obtain result for the convergence of the maximum of adopter in a stochastic interval, as well as the instant of time that the process reaches that state. For this study, we used results of the theory of density dependent Markov chains. Furthermore, we formulated a stochastic model with structure stages to describe the phenomenon of innovation diffusion in a structured population. More precisely, we proposed a continuous time Markov chain defined in a population represented by the d-dimensional integer lattice. Each individual of the population must be in some of the M +1 states belonging to the set {0;1;2; :::;M}. In this sense, 0 stands for ignorant, i for i ∈ {1; :::;M - 1} for aware in stage i and M for adopter. The arguments, that allow to obtain sufficient conditions under which the innovation either becomes extinct or survives with positive probability, are studied.