Nous etudions certains processus stochastiques de coalescence ou de fragmentation a l'aide de codages par des arbres aleatoires ou des processus de Levy. Dans un premier temps, nous decrivons le semigroupe d'une classe de fragmentations "ordonnees" associees a des excursions de processus de Levy sans sauts positifs, et reliees au processus de coalescence stochastique additif. Nous demontrons des resultats negatifs sur le semigroupe de certaines fragmentations dites auto-similaires, introduites par Bertoin. Puis, nous etudions deux processus de fragmentation auto-similaires "duaux" obtenus a partir de l'arbre continu stable de Duquesne et Le Gall. Nous obtenons une caracterisation complete de leurs lois. Nous codons egalement la genealogie de toute fragmentation auto-similaire d'indice negatif dans un arbre continu. Enfin, nous etudions les arbres continus inhomogenes d'Aldous, Camarri et Pitman, obtenus comme limite continue des p-arbres discrets. Nous donnons l'expression de leurs processus de hauteur et de largeur a l'aide de ponts a accroissements echangeables. Nous obtenons egalement des resultats asymptotiques, formules en termes d'un pont brownien reflechi, sur le modele des p-applications a l'aide de leurs liens avec les p-arbres.

Nous étudions certains processus de Lévy à valeurs dans les groupes d'isométries respectifs des espace-temps de Minkowski, de De Sitter et de Anti-De-Sitter. Le groupe d'isométries est vu comme le fibré des repères de l'espace-temps et les processus de Lévy considérés se projettent sur le fibré unitaire en un processus markovien relativiste ; c'est-à-dire que les trajectoires dans l'espace-temps sont de genre temps et que le générateur est invariant par les isométries. Dans la première partie nous adaptons pour les diffusions hypoelliptiques générales un résultat de Ben Arous et Gradinaru concernant la singularité de la fonction de Green hypoelliptique. Nous déduisons de cela un critère d'effilement de Wiener local pour les diffusions relativistes dans le groupe de Poincaré, groupe des isométries de l'espace-temps de Minkowski. Dans les deux dernières parties nous nous intéressons au comportement asymptotique du flot stochastique associé à ces processus de Lévy dans les différents groupes d'isométries. Sous une condition d'intégrabilité de la mesure de Lévy nous calculons explicitement les coefficients de Lyapounov des processus dans le groupe de Poincaré. Nous effectuons un travail similaire pour les espace-temps de De Sitter et Anti-De-Sitter en nous limitant au cas des diffusions. Nous explicitons de plus la frontière de Poisson pour la diffusion dans le groupe d'isométries de l'espace-temps de De Sitter.

From both theoretical and applied perspectives, first passage<br />time problems for random processes are challenging and of great<br />interest. In this thesis, our contribution consists on providing<br />explicit or quasi-explicit solutions for these problems in two<br />different settings.<br /><br />In the first one, we deal with problems related to the<br />distribution of the first passage time (FPT) of a Brownian motion<br />over a continuous curve. We provide several representations for<br />the density of the FPT of a fixed level by an Ornstein-Uhlenbeck<br />process. This problem is known to be closely connected to the one<br />of the FPT of a Brownian motion over the square root boundary.<br />Then, we compute the joint Laplace transform of the $L^1$ and<br />$L^2$ norms of the $3$-dimensional Bessel bridges. This result is<br />used to illustrate a relationship which we establish between the<br />laws of the FPT of a Brownian motion over a twice continuously<br />differentiable curve and the quadratic and linear ones. Finally,<br />we introduce a transformation which maps a continuous function<br />into a family of continuous functions and we establish its<br />analytical and algebraic properties. We deduce a simple and<br />explicit relationship between the densities of the FPT over each<br />element of this family by a selfsimilar diffusion.<br /><br /> In the second setting, we are concerned with the study of<br />exit problems associated to Generalized Ornstein-Uhlenbeck<br />processes. These are constructed from the classical<br />Ornstein-Uhlenbeck process by simply replacing the driving<br />Brownian motion by a Lévy process. They are diffusions with<br />possible jumps. We consider two cases: The spectrally negative<br />case, that is when the process has only downward jumps and the<br />case when the Lévy process is a compound Poisson process with<br />exponentially distributed jumps. We derive an expression, in terms<br />of new special functions, for the joint Laplace transform of the<br />FPT of a fixed level and the primitives of theses processes taken<br />at this stopping time. This result allows to compute the Laplace<br />transform of the price of a European call option on the maximum on<br />the yield in the generalized Vasicek model. Finally, we study the<br />resolvent density of these processes when the Lévy process is<br />$\alpha$-stable ($1 < \alpha \leq 2$). In particular, we<br />construct their $q$-scale function which generalizes the<br />Mittag-Leffler function.

Nous étudions certains processus de Lévy à valeurs dans les groupes d'isométries respectifs des espace-temps de Minkowski, de De Sitter et de Anti-De-Sitter. Le groupe d'isométries est vu comme le fibré des repères de l'espace-temps et les processus de Lévy considérés se projettent sur le fibré unitaire en un processus markovien relativiste ; c'est-à-dire que les trajectoires dans l'espace-temps sont de genre temps et que le générateur est invariant par les isométries. Dans la première partie nous adaptons pour les diffusions hypoelliptiques générales un résultat de Ben Arous et Gradinaru concernant la singularité de la fonction de Green hypoelliptique. Nous déduisons de cela un critère d'effilement de Wiener local pour les diffusions relativistes dans le groupe de Poincaré, groupe des isométries de l'espace-temps de Minkowski. Dans les deux dernières parties nous nous intéressons au comportement asymptotique du flot stochastique associé à ces processus de Lévy dans les différents groupes d'isométries. Sous une condition d'intégrabilité de la mesure de Lévy nous calculons explicitement les coefficients de Lyapounov des processus dans le groupe de Poincaré. Nous effectuons un travail similaire pour les espace-temps de De Sitter et Anti-De-Sitter en nous limitant au cas des diffusions. Nous explicitons de plus la frontière de Poisson pour la diffusion dans le groupe d'isométries de l'espace-temps de De Sitter. / We study some Lévy processes with values in the isometry group of Minkowski, De Sitter and Anti-de-Sitter space-times. The isometry group is seen as the frame bundle of the space-time and the Lévy processes we consider are some lift of relativistic markovian processes with values in the unitary tangent bundle of the space-time. Theses processes are relativistic in the sense that theirs trajectories are time-like and their generators are invariant by the isometries of the space-time. In the first part of this work we adapt to the case of a general hypoelliptic diffusion a result of Ben Arous and Gradinaru concerning the singularity of the hypoelliptic Green function. We deduce of this a local Wiener criterion for the relativistic diffusion in the isometry group of Minkowski space-time. In the two last parts we are interested to the asymptotic behavior of the stochastic flow associated to these Lévy processes in the different considered space-times. Under a integrability condition on the Lévy measure we compute explicitly the Lyapunov coefficient for such flows in the isometry group of Minkowski space-time. Then, we do a similar work in the context of de Sitter and Anti-de-Sitter space-times limiting ourselves to the case of diffusions. In fine, we explicit the Poisson boundary of the diffusion in the isometry group of de Sitter space-time.

Dans la premiere partie de cette these, on a etudie l'impact sur les prix d'options des erreurs d'estimation de volatilite. Dans les modeles de diffusion utilises ennance, un coefficient de diffusion fonctinnelle (:; :) modelise la volatilite d'un actif financier. Ce coefficient est estime a partir d'observations donc entache d'erreurs statistiques. L'objectif est de voir l'impact de ces erreurs sur le calcul de prix d'options, qui sont solutions d'EDP paraboliques dont l'estimateur (:; :) est le coefficient de diffusion. Cela debouche sur un probleme de passage a la limite (homogeneisation) dans des equations paraboliques a coefficients aleatoires. Dans ce travail on a obtenu des estimations de la vitesse de convergence locale sur la solution d'une EDP parabolique a coefficients aleatoire, lorsque le coefficient de diffusion est un champ aleatoire convergeant vers une fonction limite. Ce resultat permet d'etudier l'im- pact sur les prix d'options des erreurs d'estimation de volatilite dans differents cas degures. Cette methode est appliquee pour evaluer l'incertitude sur les options a barrieres dans un modele de diffusion lorsqu'on reconstitue la volatilite par la formule de Dupire a partir des donnees discretes sur les prix d'options. La deuxieme partie de cette these concerne l'etude de problemes inverses pour certaine classe d'equations d'evolution integro-differentielles survenant dans l'etude des modeles d'evaluation bases sur les processus de Levy. On a etudie une approche de ces problemes inverses par regularisation de Tikhonov. Cette approche permet de reconstruire de facon stable les parametres d'un modele markovien avec sauts a partir de l'observation d'un nombre ni d'options. Le chapitre 4 pose les bases theoriques de cette approche et propose une parametrisation des mesures de Levy par la racine carree de la densite, ce qui permet de ramener le probleme dans un cadre hilbertien. La regularisation de Tikhonov proposee consiste a minimiser l'ecart quadratique par rapport aux prix observ es plus une norme hilbertienne des parametres. Des resultats d'existence, de stabilite et de convergence de la solution du probleme regularise sont alors obtenus sous de hypotheses assez generales ; des hypotheses supplementaires (conditions de source) permettent d'obtenir une estimation de la vitesse de convergence. Le choix du parametre de regularisation, sujet delicat, fait l'objet d'une discussion detaillee. Le chapitre 5 propose un algorithme numerique pour le calcul de la solution du probleme regularise et l'etude du performance de cet algorithme dans differents modeles avec sauts. L'algorithme est base sur l'emploi d'un algorithme de gradient pour la minimisation de la fonctionnelle regularisee : le gradient est calcule en resolvant une equation integrodifferentielle avec terme source (equation adjointe). Ce travail generalise ceux de Lagnado&Osher, Crepey et Egger & Engl au cas des equations integrodifferentielles. Les tests numeriques montrent que cet algorithme permet de construire de facon stable un processus de Levy calibre a un ensemble de