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Cubos dinámicos direccionales para Z d-sistemas minimales

Cabezas Aros, Christopher Damian January 2018 (has links)
Tesis para optar al grado de Magíster en Ciencias de la Ingeniería, Mención Matemáticas Aplicadas / Memoria para optar al título de Ingeniero Civil Matemático / En 2005, B. Host y B. Kra [24] probaron la convergencia de algunos promedios ergódicos múltiples introduciendo para cada d \in N un factor que caracteriza el comportamiento de estos promedios. En 2010, B. Host, B. Kra y A. Maass [25] estudiaron una contraparte topológica de estos factores para sistemas dinámicos topológicos (X,T), donde :X\to X es un homeomorfismo de X en sí mismo. En este trabajo introdujeron la estructura de cubos topológicos, denotada por Q^{[d]}(X,T), y probaron un teorema de estructura para sistemas transitivos con la propiedad de ``completación única de la última coordinada de un punto en Q^{[d]}(X,T)''. Este teorema de estructura se puede ver como el análogo topológico del teorema de estructura ergódico probado en [24]. Además, introdujieron la relación regionalmente proximal de orden d, denotada RP^{[d]}(X,T), y mostraron en el caso minimal distal que la relación es de equivalencia y que X/RP^{[d]}(X,T) es el factor maximal con la propiedad de completación única en Q^{[d]}(X/RP^{[d]}(X,T))$. En 2014, S. Donoso y W. Sun [7] estudiaron una variante de los cubos topológicos para un sistema minimal (X,S,T), donde S y T son dos homeomorfismos que conmutan. Esta nueva estructura se motiva en la búsqueda de factores característicos para promedios ergódicos múltiples con transformaciones que conmutan. Los autores prueban un teorema de estructura para sistemas minimales con la propiedad de ``completación única de la última coordinada de un punto en Q_{S,T}(X)''. Introducen además la relación (S,T)-regionalmente proximal, denotada por R_{S,T}(X), que es una variante más débil de la relación regionalmente proximal de primer orden para acciones de Z^{2}. Finalmente, en el caso distal prueban que la relación (S,T)-regionalmente proximal es una relación de equivalencia y que X/R_{S,T}(X) es el factor maximal con la propiedad de completación única en Q_{S,T}(X/R_{S,T}(X)) En esta tesis generalizamos el concepto de cubos topológicos para sistemas minimales (X,T_{1},...,T_{d}), donde T_{1},...,T_{d} son d homeomorfismos que conmutan, así como la relación (T_{1},...,T_{d})-regionalmente proximal introducidas en [7]. En primer lugar demostramos un teorema estructural para sistemas minimales distales con la propiedad de completación única. Luego, para cada i \in {1,...,d} definimos la clase Z_{0}^{e_{i}}, que corresponde a la clase de sistemas dinámicos donde la acción Ti es la identidad y describimos, para cada sistema dinámico (X,T_{1},...,T_{d}), su factor Z_{0}^{e_{i}}-maximal. Adicionalmente estudiamos las propiedades de los conjuntos de recurrencia para sistemas minimales distales con la propiedad de completación única para la clase de cubos desarrollada en esta tesis. In 2005, B. Host and B. Kra [24] proved the convergence of some multiple ergodic averages by introducing for each d\in N a factor that characterizes the behavior of these averages. In 2010, B. Host, B. Kra and A. Maass [25] studied a topological counterpart of these factors for topological dynamic systems (X,T), where T: X\to X is a homeomorphism from X to itself. In this work they introduced the structure of topological cubes, denoted by Q^{[d]}(X,T), and they proved a structure theorem for transitive systems with the property of ``unique completion of the last coordinate of a point in Q^[d](X,T)''. This structure theorem can be seen as the topological analog of the purely ergodic structure theorem proved in [24]. In addition, they introduced the regionally proximal relation of order d, denoted RP^{[d]}(X,T), and showed in the minimal distal case that the relation is an equivalence relation and that is the maximal factor with the unique completion property in Q^{[d]}(X/\RP^{[d]}(X,T)}). In 2014, S. Donoso and W. Sun [7] studied a variant of the topological cubes for a minimal system (X,S,T), where S and T are two commuting homeomorphisms. This new structure is motivated in the search of characteristic factors for multiple ergodic averages with commuting transformations. The authors prove a structure theorem for minimal systems with the property of ``unique completion of the last coordinate of a point in Q_{S,T}(X)''. They also introduce the relation (S,T)-regionally proximal, denoted by R_{S,T}(X), which is a weaker variant of the regionally proximal relation of order one for Z^{2}-actions. Finally, in the distal case they proved that the relation (S,T)-regionally proximal is an equivalence relation and that X/R_{S,T}(X) is the maximal factor with the unique completion property in Q_{S,T}(X/R_{S,T}(X)). In this thesis we generalize the concept of topological cubes for minimal systems (X,T_{1},...,T_{d}), where T_ {1},..., T_{d} are d commuting homeomorphisms, as well as the relation (T_{1},...,T_{d})-regionally proximal introduced in [7]. First, we prove a structural theorem for distal minimal systems with the closing parallelepiped property. Then, for each i\in {1,...,d} we define the class Z_{0}^{e_{i}}, which corresponds to the class of dynamical systems where the action T_{i} is the identity and we describe, for each dynamical system (X,T_{1},...,T_{d}), its maximal Z_{0}^{e_ {i}}-factor. Additionally, we studied the properties of recurrence sets for distal minimal systems with the closing parallelepiped property for the class of cubes developed in this thesis. / CMM - Conicyt PIA AFB 170001
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Análisis de la dinámica de convertidores electrónicos de potencia usando PWM basado en promediado cero de la dinámica del error (ZAD)

Angulo García, Fabiola 20 July 2004 (has links)
En esta tesis se estudia de manera analítica y numérica el comportamiento del convertidor tipo buck cuando es manejado con PWM y el cálculo de ciclo de trabajo se hace obligando a la dinámica de primer orden en el error del sistema a tener promedio cero en cada iteración (ZAD). Esta técnica de manejo del PWM, reportada por primera vez en la literatura en el año 2001, y ampliamente estudiada en la presente tesis, promete llevar al sistema a tener características deseables tales como: frecuencia fija de conmutación, robustez y bajo error de salida; cualidades estas muy importantes en un convertidor. Los principales puntos de análisis en la presente tesis son: determinación del punto de equilibrio de la aplicación de Poincaré del convertidor manejado con PWM y ZAD. Cálculo de la estabilidad de la órbita de período 1 asociada a la aplicación de Poincaré. Este estudio se ha hecho via Exponentes de Lyapunov, Exponentes de Floquet y Multiplicadores característicos. Debido a la presencia inherente de un periodo de atraso en un esquema de PWM con pulso al centro, se incuye para el análisis de estabilidad este caso particular. También se hace un estudio de la transición al caos, basado en la aplicación de Poincaré y se caracterizan de manera analítica las tres primeras bifurcaciones (Flip-colisión de borde-Flip). Se muestra además la conformación del caos a tavés de una aplicación estilo tienda de campaña. Se ha diseñado un controlador para cuando el sistema opera en zona de caos y se ha comparado con la técnica TDAS, mostrando mayor velocidad de respuesta y error más bajo. Por medio de la aplicación de la teoría de promedios se calcula una cota para el error, cuando el sistema opera en zona estable y en estado estacionario, garantizando un bajo error de salida. Finalmente los resultados experimentales corroboran algunos fenómenos no lineales y el límite de la estabilidad. / In this thesis the behaviour of the buck converter, driven with PWM and Zero Average Dynamic on error (ZAD) technique is studied in an analytical and numerical form. This technique for evaluating duty cycle in a PWM was reported for the first time in the literature in the year 2001. ZAD is widely studied in this thesis. Its main characteristics are: fixed frequency switching, robustness, and low error in the regulation case. These characteristics are very important in power converters. The main issues of this thesis are: To calculate the equilibrium point associated to the buck converter Poincaré map. To determine the stability of the 1-periodic orbit, based on Lyapunov exponents, Floquet exponents and characteristic multipliers. Also an scheme of PWM with a delay time has been studied finding its stability limit. A study of transition to chaos has been made. It has confirmed analytically that the first bifurcation is flip type, the second bifurcation is corner collision type and third bifurcation is flip type, again. Also a controller for chaos is designed and tested and it has been compared with TDAS technique, showing lower error and very fast response. Applying Average theory, a bound for error in the regulation case and in stationary state has been found. This bound confirms the advantages of the ZAD technique. Finally the analytical and numerical results are confirmed in an experimental form.

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