Cette thèse traite de la survie et des généalogies de populations en présence de sélection dans quelques modèles simples de physique statistique inspirés de la biologie.<br /><br />La première partie étudie l'évolution de marches aléatoires avec branchements unidimensionnelles en présence d'un seuil de survie qui croît linéairement au cours du temps. En reliant les propriétés de ces marches aléatoires à une équation de propagation de fronts, nous étudions la transition vers l'extinction de ces marches lorsque la vitesse du seuil croît et obtenons les comportements critiques de la probabilité de survie. Nous construisons également un processus biaisé décrivant une population de telles marches conditionnée sur sa taille à un instant final. Cette construction permet d'étudier le régime quasi-stationnaire près de la vitesse critique. Enfin, nous présentons un modèle exactement soluble sur lequel plusieurs conjectures peuvent être vérifiées.<br /><br />Dans une seconde partie, nous étudions des populations de taille constante du point de vue des généalogies et des temps de coalescence. Nous expliquons dans quelle mesure certains modèles d'évolution avec sélection se rapprochent des modèles de polymères dirigés et montrons plusieurs résultats numériques qui mettent en évidence l'existence de classes d'universalité dans les généalogies. En absence de sélection, nous étudions la dynamique des temps de coalescence et de l'âge de l'ancêtre commun d'une population, ainsi que les corrélations de ce dernier avec la diversité génétique dans un cas simple.

Cette thèse étudie des modèles mathématiques inspirés par la biologie. Plus précisément, nous nous concentrons sur des équations aux dérivées partielles cinétiques. Les champs d'application des équations cinétiques sont nombreux mais nous nous concentrons ici sur des phénomènes de propagation d'espèces invasives, notamment la bactérie Escherichia coli et le crapaud buffle Rhinella marina.La première partie de la thèse ne présente pas de résultats mathématiques. Nous construisons plusieurs modélisations pour la dispersion à grande échelle du crapaud buffle en Australie. Nous confrontons ces mêmes modèles à des données statistiques multiples (taux de fécondité, taux de survie, comportements dispersifs) pour mesurer leur pertinence. Ces modèles font intervenir des processus à sauts de vitesses et des équations cinétiques.Dans la seconde partie, nous étudions des phénomènes de propagation dans des modèles cinétiques plus simples. Nous illustrons plusieurs méthodes pour établir mathématiquement des formules de vitesse de propagation dans ces modèles. Cette partie nous amène à établir des résultats de convergence d'équations cinétiques vers des équations de Hamilton-Jacobi par la méthode de la fonction test perturbée. Nous montrons également comment le formalisme Hamilton-Jacobi permet de trouver des résultats de propagation et enfin, nous construisons des solutions en ondes progressives pour un modèle de transport-réaction. Dans la dernière partie, nous établissons un résultat de limite de diffusion stochastique pour une équation cinétique aléatoire. Pour ce faire, nous adaptons la méthode de la fonction test perturbée sur la formulation d'une EDP stochastique en terme de générateurs infinitésimaux.La thèse comporte également une annexe qui expose les données trajectorielles des crapauds dont nous nous servons en première partie." / In this thesis, we study some biology inspired mathematical models. More precisely, we focus on kinetic partial differential equations. The fields of application of such equations are numerous but we focus here on propagation phenomena for invasive species, the Escherichia coli bacterium and the cane toad Rhinella marina, for example. The first part of this this does not establish any mathematical result. We build several models for the dispersion of the cane toad in Australia. We confront those very models to multiple statistical data (birth rate, survival rate, dispersal behaviors) to test their validity. Those models are based on velocity-jump processes and kinetic equations. In the second part, we study propagation phenomena on simpler kinetic models. We illustrate several methods to mathematically establish propagation speed in this models. This part leads us to establish convergence results of kinetic equations to Hamilton-Jacobi equations by the perturbed test function method. We also show how to use the Hamilton-Jacobi framework to establish spreading results et finally, we build travelling wave solutions for reaction-transport model. In the last part, we establish a stochastic diffusion limit result for a kinetic equation with a random term. To do so, we adapt the perturbed test function method on the formulation of a stochastic PDE in term of infinitesimal generators. The thesis also contains an annex which presents the data on toads’ trajectories used in the first part."

La segmentation fiable et précise des volumes anatomiques (normaux ou pathologiques) issus des systèmes d'imagerie reste un objectif important en traitement de l'information médicale car elle constitue le premier maillon de la chaîne d'analyse aboutissant à l'aide au diagnostic par l'étude de la morphologie des structures internes, à la détection et à la quantification de lésion. La segmentation est une étape délicate et difficile, en particulier pour les images IRM, pour lesquelles elle est principalement réalisée manuellement lorsqu'il y a des contraintes fortes de précision. Dans ce contexte, l'objectif de cette thèse est le filtrage des images IRM des structures osseuses articulaires du corps humain, en vue d'une aide efficace et précise à la segmentation. Une première contribution concerne le développement d'une méthode itérative de filtrage 3D anisotrope robuste. Elle permet de diffuser l'intensité des voxels selon leur appartenance à deux populations : forte diffusion pour les voxels situés à l'intérieur de régions homogènes afin de réduire le bruit, tout en empêchant cette diffusion de traverser les zones de transition (surfaces). Une comparaison rigoureuse de plusieurs fonctions d'arrêt de cette diffusion a été réalisée afin d'insérer, dans le modèle itératif, la fonction la plus pertinente. Le paramètre seuil partageant ces deux populations a été estimé de manière originale et efficace au regard de l'état de l'art. Ce schéma original de diffusion a été confronté aux méthodes de propagation de fronts. L'identification de ces deux modèles, actuellement dissociés dans la littérature, a permis de fusionner les deux approches en un schéma complet de diffusion anisotrope régie par propagation de fronts. Cette formulation a permis de contrer les désavantages de chacune des approches, à savoir i) la difficulté d'arrêter les schémas itératifs de diffusion, ii) la difficulté de mise en oeuvre des approches " level-sets " vis-à-vis des temps de calcul prohibitifs. Le schéma itératif proposé combine quatre termes liés à la diffusion, au contraste, aux données initiales et à la géométrie locale. En particulier, nous avons montré l'importance du "terme géométrique" qui remédie aux problèmes des discontinuités des contours après le filtrage. Une application sur données IRM d'articulations d'épaule, de hanche et de genou est présentée dans la partie test et validation. Les résultats sont quantifiés à l'aide de deux fonctions d'évaluation en contours et en régions. Elles démontrent une robustesse et une précision du modèle proposé dans l'élimination du bruit et la préservation des contours.

Ce mémoire présente mes travaux de recherche effectués après ma thèse, entre 2002 et 2008. Les thèmes principaux sont les équations aux dérivées partielles non-linéaires et des problèmes d'évolutions de fronts ou d'interfaces. Il est organisé en trois chapitres.<br /><br />Le premier chapitre concerne l'évolution de fronts avec une vitesse normale prescrite. Pour étudier ce genre de problème, une première approche, dite par lignes de niveaux, consiste àreprésenter le front comme une ligne de niveau d'une fonction auxiliaire u. Cette approche ramène l'étude du problème d'évolution géométrique à un problème d'EDP puisque u vérifie une équation de Hamilton-Jacobi. Quelques résultats dans le cas de vitesses locales comme la courbure moyenne sont présentés mais la majorité des résultats concerne le cas de vitesses non-locales décrivant la dynamique des dislocations dans un cristal ou modélisant l'asymptotique d'un système de FitzHugh-Nagumo apparaissant en biologie. Une approche différente, basée sur des solutions de viscosité géométriques, est utilisée pour étudier des problèmes de propagation de fronts apparaissant en optimisation de formes. Le but est de trouver un ensemble optimal minimisant une énergie du type capacité à volume ou périmètre constant. L'idée est de déformer le bord d'un ensemble donné avec une vitesse normale adéquate de manière à diminuer au plus son énergie. La mise en oeuvre de cette idée nécessite la construction rigoureuse d'une telle évolution pour tout temps et la preuve de la convergence vers une solution du problème initial. De plus, la décroissance de l'énergie est obtenue le long du flot.<br /><br />Le deuxième chapitre décrit des résultats d'unicité, d'existence et d'homogénéisation pour des équations de Hamilton-Jacobi-Bellman. La majeure partie du travail effectué concerne des équations provenant de problèmes de contrôle stochastique avec des contrôles non-bornés. Les équations comportent alors des termes quadratiques par rapport au gradient et les solutions étudiées sont elles-mêmes à croissance quadratique. Des liens entre ces solutions et les fonctions valeurs des problèmes de contrôle correspondants sont établis. La seconde partie est consacrée à un théorème d'homogénéisation pour un système d'équations de Hamilton-Jacobi du premier ordre.<br /><br />Le troisième et dernier chapitre traite d'un sujet un peu à part, à savoir le lien entre les flots de gradient et l'inégalité de Lojasiewicz. La principale originalité de ce travail est de placer l'étude dans un cadre hilbertien pour des fonctions semiconvexes, ce qui sort du cadre de l'inégalité de Lojasiewicz classique. Le principal théorème produit des caractérisations de cette inégalité. Les résultats peuvent être précisés dans le cas des fonctions convexes ; en particulier, un contre-exemple de fonction convexe ne vérifiant pas l'inégalité de Lojasiewicz est construit. Cette dernière inégalité est reliée à la longueur des trajectoires de gradient. Une borne de cette longueur est obtenue pour les fonctions convexes coercives en dimension deux même lorsque cette inégalité n'est pas vérifiée.