Dans cette thèse, nous nous intéressons à un problème mathématique issu de la modélisation de taux d'érosion maximale dans la stratigraphie géologique. Une contrainte globale sur $\partial_t u$, la dérivée par rapport au temps de la solution, est la principale caractéristique de ce modèle. Ce qui nous amène à considérer une équation non linéaire pseudo-parabolique avec un coefficient de diffusion qui est une fonction non-linéaire de $\partial_t u$. En outre, le problème dégénère de telle sorte de tenir compte implicitement de la contrainte. Nous présentons un résultat de l'existence d'une solution au problème continu. Ensuite, une méthode DgFem (discontinuous Galerkin finite element method) pour son approximation numérique est développée. Notre objectif est d'utiliser les propriétéess d'approximation constante par morceaux pour tenir compte implicitement de la contrainte.

L'objectif de ce travail est l'étude du problème non linéaire de type pseudo parabolique suivant : trouver une fonction mesurable $u$ de $Q:=]0,T[\times \Omega$ solution de \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{l@{\quad}l} f\left(t,x,u_t\right)-Div \left\{a\left(x,u,u_t\right)\nabla u+b\left(x,u,u_t\right)\nabla u_t \right\}=g(t,x), \; (t,x)\in Q, \\ u(x,t)=0,\; (t,x)\in ]0,T[\times \partial \Omega, \\ u(0,x)=u_0, \; x\in \Omega,\\ \end{array} \right. \end{equation*} où l'opérateur de Nemestki associé à la fonction $f$ est monotone.\\ Un premier chapitre est conscré à l'étude de l'existence d'une solution pour le problème ci-dessus. Pour cela, on utilise une méthode de semi-discrétisation implicite en temps. L'existence des itérés repose sur le théorème de point fixe de Schauder-Tikhonov et la convergence du schéma sur une outil de compacité adapté à la situation. À la fin du chapitre, on propose des applications à l'équation de Barenblatt et au cas d'un $f$ multivoque. \\ Dans le second chapitre, on s'intéresse au problème de Barenblatt pseudo-parabolique : rechercher une fonction mesurable $u$ de $Q$ à valeur réelle telle que \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{l@{\quad}l} f\left(u_t\right(t,x))-\Delta u(t,x)-\epsilon \Delta u_t(t,x)=g(t,x), \; (t,x)\in Q, \\ u(x,t)=0,\; (t,x)\in ]0,T[\times \partial \Omega, \\ u(0,x)=u_0, \; x\in \Omega,\\ \end{array} \right. \end{equation*} où $f$ n'est pas nécessairement monotone.\\ Pour $\epsilon> \epsilon_0>0 $, où $\epsilon_0$ est une valeur critique, on montre que le problème est bien posé en utilisant une méthode similaire à celle du premier chapitre. Pour la valeur critique de $\epsilon=\epsilon_0$, le problème admet au plus une solution ; cette dernière existe moyennant une hypothèse supplémentaire sur $f$. Enfin, si $0<\epsilon<\epsilon_0$, la solution n'est pas unique en général. On propose enfin d'une approche stochastique de l'équation pseudo-parabolique de Barenblatt-Sobolev. Le dernier chapitre propose des simulations numériques monodimensionnelles ; notamment, on s'intéresse à la perturbation singulière pseudo-parabolique lorsque la diffusion moléculaire change de signe.