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Polynômes orthogonaux : processus limites et modèles exactement résolublesLemay, Jean-Michel 06 1900 (has links)
Cette thèse porte sur l’étude des familles de polynômes orthogonaux et leurs liens avec les modèles
exactement résolubles. Elle se décline en deux parties. Dans la première, on caractérise quatre
nouvelles familles de polynômes orthogonaux à l’aide de processus limites appliqués à des familles
appartenant aux schéma d’Askey et de Bannai-Ito. Des troncations singulières des polynômes de
Wilson et d’Askey-Wilson sont considérées. Deux premières extensions bivariées de polynômes
appartenant au tableau de Bannai-Ito sont également introduites. La deuxième partie présente
quatre modèles exactement résolubles en lien avec la théorie des polynômes orthogonaux. Les
propriétés de transfert parfait d’information quantique et de partage d’intrication d’un modèle de
chaîne de spin XX dont les couplage sont liés aux polynômes de para-Racah sont examinées. Deux
modèles superintégrables contenant des opérateurs de réflexions sont proposés. Leurs solutions
sont obtenues et leurs symétries s’encodent respectivement dans l’algèbre de Bannai-Ito de rang
deux et de rang arbitraire ce qui mène à conjecturer l’apparition des polynômes de Bannai-Ito
multivariés comme coefficients de connection. Finalement, par la théorie des représentations de la
superalgèbre osp(1|2), deux identités de convolution pour des familles de polynômes du tableau de
Bannai-Ito sont offertes. Une réalisation en termes d’opérateurs de Dunkl conduit à une fonction
génératrice bilinéaire pour les polynômes de Big −1 Jacobi. / This thesis is concerned with the study of families of orthogonal polynomials and their connection
to exactly solvable models. It comprises two parts. In the first one, four novel families of orthogonal
polynomials are caracterized through limit processes applied to families belonging to the Askey
and Bannai-Ito schemes. Singular truncations of the Wilson and Askey-Wilson polynomials are
considered. The first two bivariate extensions of families of the Bannai-Ito tableau are also
introduced. The second part presents four exactly solvable models connected to the theory of
orthogonal polynomials. The perfect transfer of quantum information and entanglement generation
properties of an XX spin chain model whose couplings are linked to the para-Racah polynomials are
examined. Two superintegrable models containing reflexion operators are proposed. Their solutions
are obtained and their symmetries are encoded respectively in the rank two and arbitrary rank
Bannai-Ito algebra which leads to conjecture the apparition of multivariate Bannai-Ito polynomials
as overlaps. Finally, via the representation theory of the osp(1|2) Lie superalgebra, two convolution
identities for families of orthogonal polynomials of the Bannai-Ito tableau are offered. Realizations
in terms of Dunkl operators lead to a bilinear generating function for the Big −1 Jacobi polynomials.
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Mécanique quantique supersymétrique et opérateurs d’échelle pour le système de Rosen-MorseGarneau-Desroches, Simon 07 1900 (has links)
Le présent mémoire est dédié à l’étude du rôle de la mécanique quantique supersymétrique dans la construction d’opérateurs d’échelle et de leurs applications pour le système quantique de Rosen-Morse. L’aboutissement de ces travaux est contenu dans un article qui constitue le dernier chapitre du mémoire. Précisément, on motive l’échec de la réalisation des opérateurs d’échelle comme opérateurs différentiels pour le potentiel de Rosen-Morse avec les méthodes traditionnelles. On exploite la propriété d’invariance de forme dans le contexte de la mécanique quantique supersymétrique comme un outil alternatif pour offrir une première approche quantique à la réalisation des opérateurs d’échelle pour la version hyperbolique de ce potentiel. On utilise cette réalisation pour obtenir celle d’opérateurs d’échelle pour une classe particulière d’extensions rationnelles du potentiel de Rosen-Morse hyperbolique avec des techniques issues de la supersymétrie. Des états cohérents sont construits à partir des réalisations obtenues pour les différents systèmes. Certaines de leurs propriétés sont analysées et mises en comparaison. En parallèle, on utilise une transformation canonique ponctuelle pour déduire une première réalisation des opérateurs d’échelle comme opérateurs différentiels pour le système de Rosen-Morse trigonométrique. De cette réalisation sont construits des états cohérents pour lesquels des propriétés sont similairement analysées. / This master thesis is dedicated to the study of the role of supersymmetric quantum mechanics in the construction of ladder operators and of their applications for the quantum Rosen-Morse system. The results of this work are presented in an article that constitutes the last chapter of the thesis. Precisely, we motivate the failure of traditional methods in providing a realization for the Rosen-Morse ladder operators as differential operators. We provide a first quantum-based solution to this problem by using the shape invariance property in supersymmetric quantum mechanics as a tool in the construction of the ladder operators for the hyperbolic version of this potential. We use the latter realization to obtain that of a specific class of rational extensions of the hyperbolic Rosen-Morse system by means of supersymmetric techniques. Coherent states are constructed from the ladder operators obtained for the different systems. Some properties are analyzed and compared. In addition, we make use of a point canonical transformation in the derivation of the first realization of the ladder operators of the trigonometric Rosen-Morse system as differential operators. From this realization, we construct coherent states for which some properties are similarly analyzed.
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