Persistence problem of compact invariant manifold under random perturbation is considered in this dissertation. Under uniformly small random perturbation and the condition of normal hyperbolicity, the original invariant manifold persists and becomes a random invariant manifold. The random counterpart has random local stable and unstable manifolds. They could be invariantly foliated thanks to the normal hyperbolicity. Those underlie an extension of the geometric singular perturbation theory to the random case which means the slow manifold persists and becomes a random manifold so that the local global structure near the slow manifold persists under singular perturbation. A normal form for a random differential equation is obtained and this helps to prove a random version of the exchange lemma.

On introduit le concept d'une variété aléatoire stationnaire avec l'objectif de traiter de façon unifiée les résultats sur les variétés avec un group d'isométries transitif, les variétés avec quotient compact, et les feuilles génériques d'un feuilletage compact. On démontre des inégalités entre la vitesse de fuite, l'entropie du mouvement brownien et la croissance de volume de la variété aléatoire, en généralisant des résultats d'Avez, Kaimanovich, et Ledrappier. Dans la deuxième partie on démontre que la fonction feuille d'un feuilletage compact est semicontinue, en obtenant comme conséquences le théorème de stabilité local de Reeb, une partie du théorème de structure local pour les feuilletages à feuilles compactes d'Epstein, et un théorème de continuité d'Álvarez et Candel. / We introduce the concept of a stationary random manifold with the objective of treating in a unified way results about manifolds with transitive isometry group, manifolds with a compact quotient, and generic leaves of compact foliations. We prove inequalities relating linear drift and entropy of Brownian motion with the volume growth of such manifolds, generalizing previous work by Avez, Kaimanovich, and Ledrappier among others. In the second part we prove that the leaf function of a compact foliation is semicontinuous, obtaining as corollaries Reeb's local stability theorem, part of Epstein's the local structure theorem for foliations by compact leaves, and a continuity theorem of Álvarez and Candel.