On introduit le concept d'une variété aléatoire stationnaire avec l'objectif de traiter de façon unifiée les résultats sur les variétés avec un group d'isométries transitif, les variétés avec quotient compact, et les feuilles génériques d'un feuilletage compact. On démontre des inégalités entre la vitesse de fuite, l'entropie du mouvement brownien et la croissance de volume de la variété aléatoire, en généralisant des résultats d'Avez, Kaimanovich, et Ledrappier. Dans la deuxième partie on démontre que la fonction feuille d'un feuilletage compact est semicontinue, en obtenant comme conséquences le théorème de stabilité local de Reeb, une partie du théorème de structure local pour les feuilletages à feuilles compactes d'Epstein, et un théorème de continuité d'Álvarez et Candel.

On introduit le concept d'une variété aléatoire stationnaire avec l'objectif de traiter de façon unifiée les résultats sur les variétés avec un group d'isométries transitif, les variétés avec quotient compact, et les feuilles génériques d'un feuilletage compact. On démontre des inégalités entre la vitesse de fuite, l'entropie du mouvement brownien et la croissance de volume de la variété aléatoire, en généralisant des résultats d'Avez, Kaimanovich, et Ledrappier. Dans la deuxième partie on démontre que la fonction feuille d'un feuilletage compact est semicontinue, en obtenant comme conséquences le théorème de stabilité local de Reeb, une partie du théorème de structure local pour les feuilletages à feuilles compactes d'Epstein, et un théorème de continuité d'Álvarez et Candel. / We introduce the concept of a stationary random manifold with the objective of treating in a unified way results about manifolds with transitive isometry group, manifolds with a compact quotient, and generic leaves of compact foliations. We prove inequalities relating linear drift and entropy of Brownian motion with the volume growth of such manifolds, generalizing previous work by Avez, Kaimanovich, and Ledrappier among others. In the second part we prove that the leaf function of a compact foliation is semicontinuous, obtaining as corollaries Reeb's local stability theorem, part of Epstein's the local structure theorem for foliations by compact leaves, and a continuity theorem of Álvarez and Candel.

Dans cette thèse, nous étudions le volume et la caractéristique d'Euler de sous-variétés aléatoires de codimension r ∈ {1, . . . , n} dans une variété ambiante M de dimension n. Dans un premier modèle, dit des ondes riemanniennes aléatoires, M est une variété riemannienne fermée. Nous considérons alors le lieu Zλ des zéros communs de r combinaisons linéaires aléatoires indépendantes de fonctions propres du laplacien associées à des valeurs propres inférieures à λ 0. Nous obtenons alors les asymptotiques du volume moyen et de la caractéristique d'Euler moyenne de Zλ lorsque λ tend vers l'infini. Dans un second modèle, M est le lieu réel d'une variété projective définie sur les réels. On s'intéresse dans ce cadre au lieu d'annulation réel Zd d'une section holomorphe réelle globale aléatoire de E⊗Ld, où E est un fibré hermitien de rang r, L est un fibré en droites hermitien ample et tous deux sont définis sur les réels. Nous estimons alors les moyennes du volume et de la caractéristique d'Euler de Zd quand d tend vers l'infini. Dans ce modèle algébrique réel, nous calculons aussi l'asymptotique de la variance du volume de Zd pour 1 r < n. Nous en déduisons, dans ce cas, des résultats asymptotiques d'équidistribution de Zd dans M / We study the volume and Euler characteristic of codimension r ∈ {1, . . . , n} random submanifolds in a dimension n manifold M. First, we consider Riemannian random waves. That is M is a closed Riemannian manifold and we study the common zero set Zλ of r independent random linear combinations of eigenfunctions of the Laplacian associated to eigenvalues smaller than λ 0. We compute estimates for the mean volume and Euler characteristic of Zλ as λ goes to infinity. We also consider a model of random real algebraic manifolds. In this setting, M is the real locus of a projective manifold defined over the reals. Then, we consider the real vanishing locus Zd of a random real global holomorphic section of E ⊗ Ld, where E is a rank r Hermitian vector bundle, L is an ample Hermitian line bundle and both these bundles are defined over the reals. We compute the asymptotics of the mean volume and Euler characteristic of Zd as d goes to infinity. In this real algebraic setting, we also compute the asymptotic of the variance of the volume of Zd, when 1 r < n. In this case, we prove asympotic equidistribution results for Zd in M