Jean-Marc Fontaine a montré que la catégorie tannakienne des représentations cristallines du groupe de Galois d'un corps local K est équivalente à celle des Phi-modules filtrés sur K admissibles. De plus, la théorie de Fontaine-Laffaille, sous certaines restrictions, précise ceci à l'aide d'un foncteur V_cris qui induit une équivalence abélienne entre les réseaux fortement divisibles des Phi-modules filtrés admissibles et les réseaux galoisiens des représentations galoisiennes correspondantes. <br /><br />Le but de cette thèse est d'étudier plus en détail le foncteur V_cris. A cause des restrictions liées à la théorie de Fontaine-Laffaille, les catégories considérées pour les réseaux ne sont pas stables par produit tensoriel. Mais nous montrons que malgré ce problème, V_cris a de bonnes propriétés tannakiennes, qui conduisent à des applications intéressantes pour les représentations cristallines à valeurs dans les points sur Zp d'un groupe algébrique lisse sur Zp.<br /><br />Le point clé est la construction d'un foncteur, qui à un Phi-module filtré M (vérifiant les conditions de Fontaine-Laffaille) associe un (Phi,Gamma)-module dont la représentation galoisienne associée s'identifie fonctoriellement à V_cris(M), et qui préserve le produit tensoriel (sous certaines conditions). Ce foncteur a un lien très fort avec la théorie des modules de Wach, et c'est cela qui permet d'utiliser toute la force de l'équivalence de catégories entre les représentations galoisiennes sur Zp et les (Phi,Gamma)-modules.

Dans cette thèse, on démontre que certaines représentations du groupe de Galois absolu d'une extension finie de $Q_p$ à coefficients dans $\bar{F_p}$ se relèvent en des représentations cristallines à coefficients dans $\bar{Z_p}$.

Le foncteur D_cris de Fontaine nous permet d'obtenir des isocristaux à partir des représentations cristallines. Pour un groupe reductif G, on s'intéresse à étudier la réduction des réseaux dans une représentation cristalline avec G-structure V, vers les cristaux avec G-structure contenus dans D_cris(V). En utilisant la théorie des modules de Kisin, on donne une description de cette réduction en termes du groupe G, dans le cas où la représentation est (G-)ordinaire. Pour cela, il faut d'abord généraliser la construction de la filtration de Harder-Narasimhan des groupes p-divisibles, donnée par Fargues, aux modules de Kisin. / Fontaine’s D_cris functor allows us to associate an isocrystal to any crystalline representation. For a reductive group G, we study the reduction of lattices inside a germ of crystalline representations with G-structure V, to lattices (which are crystals) with G-structure inside D_cris(V). Using Kisin modules theory, we give a description of this reduction in terms of G, in the case when the representation V is (G-)ordinary. In order to do that, first we need to generalize Fargues’ construction of the Harder-Narasimhan filtration for p-divisible groups to Kisin modules.

Cette thèse est constituée de deux parties indépendantes, étudiant deux aspects de la théorie des (φ,Γ)-modules en caractéristique p. La première partie porte sur l'étude de la réduction modulo p des représentations cristallines irréductibles de dimension deux. Nous donnons, pour des poids k ≤ p², un calcul explicite de la réduction de V(k,a) pour a dans un disque fermé centré en zéro, généralisant ainsi des résultats déjà connus pour k ≤ 2p. En particulier, nous calculons le plus grand rayon possible pour ce disque, et montrons que dans certains cas, la réduction qui est constante à l'intérieur du disque change sur son bord. Dans la seconde partie, nous nous intéressons aux représentations d'un sous-groupe de Borel de GL[indice]2(Q[indice]p) sur un corps de caractéristique p, et en particulier à celles qui sont lisses, irréductibles et admettent un caractère central. Une méthode pour construire de telles représentations à partir de (φ,Γ)-modules irréductibles a été décrite par Colmez dans sa construction de la correspondance de Langlands p-adique. Après avoir donné un cadre un peu plus général dans lequel la construction de Colmez fonctionne encore, nous classifions les représentations irréductibles du Borel, prouvant que la construction précédente permet d'obtenir toutes les représentations de dimension infinie. Lorsque le corps des coefficients est fini, ou algébriquement clos, nous disposons d'une interprétation galoisienne des (φ,Γ)-modules irréductibles, et la classification précédente permet alors d'obtenir une correspondance entre ces représentations du Borel et des représentations galoisiennes modulaires.

Cette thèse est constituée de deux parties indépendantes, étudiant deux aspects de la théorie des (φ,Γ)-modules en caractéristique p. La première partie porte sur l'étude de la réduction modulo p des représentations cristallines irréductibles de dimension deux. Nous donnons, pour des poids k ≤ p², un calcul explicite de la réduction de V(k,a) pour a dans un disque fermé centré en zéro, généralisant ainsi des résultats déjà connus pour k ≤ 2p. En particulier, nous calculons le plus grand rayon possible pour ce disque, et montrons que dans certains cas, la réduction qui est constante à l'intérieur du disque change sur son bord. Dans la seconde partie, nous nous intéressons aux représentations d'un sous-groupe de Borel de GL[indice]2(Q[indice]p) sur un corps de caractéristique p, et en particulier à celles qui sont lisses, irréductibles et admettent un caractère central. Une méthode pour construire de telles représentations à partir de (φ,Γ)-modules irréductibles a été décrite par Colmez dans sa construction de la correspondance de Langlands p-adique. Après avoir donné un cadre un peu plus général dans lequel la construction de Colmez fonctionne encore, nous classifions les représentations irréductibles du Borel, prouvant que la construction précédente permet d'obtenir toutes les représentations de dimension infinie. Lorsque le corps des coefficients est fini, ou algébriquement clos, nous disposons d'une interprétation galoisienne des (φ,Γ)-modules irréductibles, et la classification précédente permet alors d'obtenir une correspondance entre ces représentations du Borel et des représentations galoisiennes modulaires. / This thesis is made of two independent parts, dealing with two different aspects of characteristic p (φ,Γ)-modules. In the first part we study the reduction modulo p of -2-dimensional irreducible crystalline representations. For weights k ≤ p2, we give an explicit description of the reduction V(k,a) for a belonging to a closed disk centered at zero, generalizing results already known for k ≤ 2p. We explicitely compute the biggest possible radius for this disk, and prove that in some cases, the reduction which is constant on the interior of the disk is different for a belonging to the border of the disk. In the second part, we study the smooth, irreducible representations of a Borel subgroup of GL[indice]2(Q[indice]p) over a field of characteristic p and admitting a central character. One way of constructing such representations from irreducible (φ,Γ)-modules was described by Colmez in his construction of the p-adic Langlands correspondence. After giving a more general framework for Colmez's construction, we classify the irreducible representations of the Borel subgroup, proving that the previous construction already gives all the infinite dimensional representations. When the coefficient field is finite, Fontaine's equivalence combined with the previous classification gives a correspondence between these representations of a Borel subgroup of GL[indice]2(Q[indice]p) and modular galois representations.