We consider a Sturm-Liouville boundary value problem in a bounded domain D of R^n. By this is meant that the differential equation is given by a second order elliptic operator of divergent form in D and the boundary conditions are of Robin type on bD. The first order term of the boundary operator is the oblique derivative whose coefficients bear discontinuities of the first kind. Applying the method of weak perturbation of compact self-adjoint operators and the method of rays of minimal growth, we prove the completeness of root functions related to the boundary value problem in Lebesgue and Sobolev spaces of various types.

Cette thèse est consacrée principalement à l’étude de quelques problèmes elliptiques singuliers dans un domaine Ωɛ*, périodiquement perforé par des trous de taille ɛ. On montre l’existence et l’unicité d’une solution, pour tout ɛ fixé, ainsi que des résultats d’homogénéisation et correcteurs pour le problème singulier suivant :{█(-div (A (x/ɛ,uɛ)∇uɛ)=fζ(uɛ) dans Ωɛ*@uɛ=0 sur Γɛ0@@(A (x/ɛ,uɛ)∇uɛ)υ+ɛγρ (x/ɛ) h(uɛ)= ɛg (x/ɛ) sur Γɛ1@)┤Où l’on prescrit des conditions de Dirichlet homogènes sur la frontière extérieure Γɛ0 et des conditions de Robin non linéaires sur la frontière des trous Γɛ1. Le champ matriciel quasi linéaire A est elliptique, borné, périodique dans la primière variable et de Carathéodory. Le terme singulier non linéaire est le produit d’une fonction continue ζ (singulier en zéro) et de f, dont la sommabilité dépend de la croissance de ζ près de sa singularité. Le terme de bord non linéaire h est une fonction croissante de classe C1, ρ et g sont des fonctions périodiques non négatives avec sommabilité convenables. Pour étudier le comportement asymptotique du problème quand ɛ -> 0, on applique la méthode de l’éclatement périodique due à D. Cioranescu-A. Damlamian-G. Griso (cf. D. Cioranescu-A. Damlamian-P. Donato-G. Griso-R. Zaki pour les domaines perforés). Enfin, on montre l’existence et l’unicité de la solution faible pour la même équation, dans un domaine à deux composants Ω = Ω1 υ Ω2 υ Γ, étant Γ l’interface entre le composant connecté Ω1 et les inclusions Ω2. Plus précisément on considère{█(-div (A(x, u)∇u)+ λu=fζ(u) dans Ω\Γ,@u=0 sur δΩ@(A(x, u1)∇u1)υ1= (A(x, u2)∇u2)υ1 sur Γ,@(A(x, u1)∇u1)υ1= -h(u1-u2) sur Γ@)┤Où λ est un réel non négatif et h représente le coefficient de proportionnalité entre le flux de chaleur et le saut de la solution, et il est supposé être borné et non négatif sur Γ. / This thesis is mainly devoted to the study of some singular elliptic problems posed in perforated domains. Denoting by Ωɛ* e domain perforated by ɛ-periodic holes of ɛ-size, we prove existence and uniqueness of the solution , for fixed ɛ, as well as homogenization and correctors results for the following singular problem :{█(-div (A (x/ɛ,uɛ)∇uɛ)=fζ(uɛ) dans Ωɛ*@uɛ=0 sur Γɛ0@@(A (x/ɛ,uɛ)∇uɛ)υ+ɛγρ (x/ɛ) h(uɛ)= ɛg (x/ɛ) sur Γɛ1@)┤Where homogeneous Dirichlet and nonlinear Robin conditions are prescribed on the exterior boundary Γɛ0 and on the boundary of the holles Γɛ1, respectively. The quasilinear matrix field A is elliptic, bounded, periodic in the first variable and Carathéodory. The nonlinear singular lower order ter mis the product of a continuous function ζ (singular in zero) and f whose summability depends on the growth of ζ near its singularity. The nonlinear boundary term h is a C1 increasing function, ρ and g are periodic nonnegative functions with prescribed summabilities. To investigate the asymptotic behaviour of the problem, as ɛ -> 0, we apply the Periodic Unfolding Method by D. Cioranescu-A. Damlamian-G. Griso, adapted to perforated domains by D. Cioranescu-A. Damlamian-P. Donato-G. Griso-R. Zaki. Finally, we show existence and uniqueness of a weak solution of the same equation in a two-component domain Ω = Ω1 υ Ω2 υ Γ, being Γ the interface between the connected component Ω1 and the inclusions Ω2. More precisely we consider{█(-div (A(x, u)∇u)+ λu=fζ(u) dans Ω\Γ,@u=0 sur δΩ@(A(x, u1)∇u1)υ1= (A(x, u2)∇u2)υ1 sur Γ,@(A(x, u1)∇u1)υ1= -h(u1-u2) sur Γ@)┤Where ν1 is the unit external vector to Ω1 and λ a nonnegative real number. Here h represents the proportionality coefficient between the continuous heat flux and the jump of the solution and it is assumed to be bounded and nonnegative on Γ.

Les problèmes de transmission avec couche mince sont délicats à approcher numériquement, en raison de la nécessité de construire des maillages à l’échelle de la couche mince. Il est courant d’éviter ces difficultés en usant de problèmes avec conditions aux limites approchées — dites d’impédance. Si l’approximation des problèmes de transmission par des problèmes d’impédance s’avère performante dans le cas de domaines réguliers, elle l’est beaucoup moins lorsque ceux-ci comportent des coins ou arêtes. L’objet de cette thèse est de proposer de nouvelles conditions d’impédance, plus performantes, afin de corriger cette perte de performance. Pour cela, les développements asymptotiques des différents problèmes-modèles sont construits et étudiés afin de localiser avec précision l’origine de la perte, en lien avec les profils singuliers associés aux coins et arêtes. De nouvelles conditions d’impédance sont construites, de type Robin multi-échelle ou Venctel. D’abord étudiées en dimension 2, elles sont ensuite généralisées à certaines situations en dimension 3. Des simulations viennent confirmer l’efficience des méthodes théoriques. / Transmission problems with thin layer are delicate to approximate numerically, because of the necessity to build meshes on the scale of the thin layer. It is common to avoid these difficulties by using problems with approximate boundary conditions — also called impedance conditions. Whereas the approximation of transmission problems by impedance problems turns out to be successful in the case of smooth domains, the situation is less satisfactory in the presence of corners and edges. The goal of this thesis is to propose new impedance conditions, more efficient, to correct this lack of performance. For that purpose, the asymptotic expansions of the various models -problems are built and studied to locate exactly the origin of the loss, in connection with the singular profiles associated to corners and edges. New impedance conditions are built, of multi-scale Robin or Venctel types. At first studied in dimension 2, they are then generalized in certain situations in dimension 3. Simulations have been carried out to confirm the efficiency of the theoretical methods to some.