La modélisation des problèmes de contact pose de sérieuses difficultés : conceptuelles, mathématiques et informatiques bien plus complexes que celles qui proviennent de la mécanique des structures linéaire classique. Motivés par le rôle fondamental que joue le contact dans les applications en calcul de structures, nous nous intéressons aux problèmes de contact unilatéral et frottement (statique et dynamique) en petites déformations. Cette thèse est consacrée à l'étude de certaines formulations et méthodes pour résoudre ce problème et se décompose en deux grandes parties. La première partie est consacrée à la présentation de la discrétisation hybride du problème de contact unilatéral avec frottement de Coulomb. Une formulation avec projection est étudiée et un résultat d'existence et d'unicité est donné pour le problème discret. Différentes méthodes de résolution sont présentées (Newton, méthode itérative, points fixes, Uzawa) et comparées en termes de nombre d'itérations et en termes de robustesse par rapport au coefficient de frottement. La deuxième partie concerne le problème de contact élastodynamique. Plusieurs schémas classiques d'intégration en temps (la θ-méthode, schéma de Newmark, point milieu) sont présentés dans cette partie. On donne aussi de nouvelles stratégies (schéma de Paoli et Schatzman, schéma avec la loi de contact équivalente, schéma avec la matrice de masse équivalente) pour venir à bout des difficultés rencontrées avec les schémas précédents. Cette dernière méthode nous permet de conserver l'énergie du problème et de montrer un résultat d'existence d'une solution lipschitzienne pour le problème de contact élastodynamique discret. Ces résultats sont validés par des simulations numériques.

Cette thèse traite des équations de Maxwell en domaine temporel. Le principal objectif est de proposer des méthodes de type éléments finis d'ordre élevé pour les équations de Maxwell et des schémas d'intégration en temps efficaces sur des maillages localement raffinés. Nous considérons des méthodes GDDT (Galerkine Discontinues en Domaine Temporel) s'appuyant sur une interpolation polynomiale d'ordre arbitrairement élevé des composantes du champ électromagnétique. Les méthodes GDDT pour les équations de Maxwell s'appuient le plus souvent sur des schémas d'intégration en temps explicites dont la condition de stabilité peut être très restrictive pour des maillages raffinés. Pour surmonter cette limitation, nous considérons des schémas en temps qui consistent à appliquer un schéma implicite localement, dans les régions raffinées, tout en préservant un schéma explicite sur le reste du maillage. Nous présentons une étude théorique complète et une comparaison de deux méthodes GDDT localement implicites. Des expériences numériques en 2D et 3D illustrent l'utilité des schémas proposés. Le traitement numérique de milieux de propagation complexes est également l'un des objectifs. Nous considérons l'interaction des ondes électromagnétiques avec les tissus biologiques qui est au cœur de nombreuses applications dans le domaine biomédical. La modélisation numérique nécessite alors de résoudre le système de Maxwell avec des modèles appropriés de dispersion. Nous formulons une méthode GDDT localement implicite pour le modèle de Debye et proposons une analyse théorique et numérique complète du schéma.

Cette thèse traite des équations de Maxwell en domaine temporel. Le principal objectif est de proposer des méthodes de type éléments finis d'ordre élevé pour les équations de Maxwell et des schémas d'intégration en temps efficaces sur des maillages localement raffinés. Nous considérons des méthodes GDDT (Galerkine Discontinues en Domaine Temporel) s'appuyant sur une interpolation polynomiale d'ordre arbitrairement élevé des composantes du champ électromagnétique. Les méthodes GDDT pour les équations de Maxwell s'appuient le plus souvent sur des schémas d'intégration en temps explicites dont la condition de stabilité peut être très restrictive pour des maillages raffinés. Pour surmonter cette limitation, nous considérons des schémas en temps qui consistent à appliquer un schéma implicite localement, dans les régions raffinées, tout en préservant un schéma explicite sur le reste du maillage. Nous présentons une étude théorique complète et une comparaison de deux méthodes GDDT localement implicites. Des expériences numériques en 2D et 3D illustrent l'utilité des schémas proposés. Le traitement numérique de milieux de propagation complexes est également l'un des objectifs. Nous considérons l'interaction des ondes électromagnétiques avec les tissus biologiques qui est au cœur de nombreuses applications dans le domaine biomédical. La modélisation numérique nécessite alors de résoudre le système de Maxwell avec des modèles appropriés de dispersion. Nous formulons une méthode GDDT localement implicite pour le modèle de Debye et proposons une analyse théorique et numérique complète du schéma.

Cette thèse traite des équations de Maxwell en domaine temporel. Le principal objectif est de proposer des méthodes de type éléments finis d'ordre élevé pour les équations de Maxwell et des schémas d'intégration en temps efficaces sur des maillages localement raffinés. Nous considérons des méthodes GDDT (Galerkine Discontinues en Domaine Temporel) s'appuyant sur une interpolation polynomiale d'ordre arbitrairement élevé des composantes du champ électromagnétique. Les méthodes GDDT pour les équations de Maxwell s'appuient le plus souvent sur des schémas d'intégration en temps explicites dont la condition de stabilité peut être très restrictive pour des maillages raffinés. Pour surmonter cette limitation, nous considérons des schémas en temps qui consistent à appliquer un schéma implicite localement, dans les régions raffinées, tout en préservant un schéma explicite sur le reste du maillage. Nous présentons une étude théorique complète et une comparaison de deux méthodes GDDT localement implicites. Des expériences numériques en 2D et 3D illustrent l'utilité des schémas proposés. Le traitement numérique de milieux de propagation complexes est également l'un des objectifs. Nous considérons l'interaction des ondes électromagnétiques avec les tissus biologiques qui est au cœur de nombreuses applications dans le domaine biomédical. La modélisation numérique nécessite alors de résoudre le système de Maxwell avec des modèles appropriés de dispersion. Nous formulons une méthode GDDT localement implicite pour le modèle de Debye et proposons une analyse théorique et numérique complète du schéma. / This work deals with the time-domain formulation of Maxwell's equations. The main objective is to propose high-order finite element type methods for the discretization of Maxwell's equations and efficient time integration methods on locally refined meshes. We consider Discontinuous Galerkin Time-Domain (DGTD) methods relying on an arbitrary high-order polynomial interpolation of the components of the electromagnetic field. Existing DGTD methods for Maxwell's equations often rely on explicit time integration schemes and are constrained by a stability condition that can be very restrictive on highly refined meshes. To overcome this limitation, we consider time integration schemes that consist in applying an implicit scheme locally i.e. in the refined regions of the mesh, while preserving an explicit scheme in the complementary part. We present a full theoretical study and a comparison of two locally implicit DGTD methods. Numerical experiments for 2D and 3D problems illustrate the usefulness of the proposed time integration schemes. The numerical treatment of complex propagation media is also one of the objectives. We consider the interaction of electromagnetic waves with biological tissues that is of interest to applications in biomedical domain. Numerical modeling then requires to solve the system of Maxwell's equations coupled to appropriate models of physical dispersion. We derive a locally implicit DGTD method for the Debye model and we achieve a full theoretical and numerical analysis of the resulting scheme.