The goal of this thesis is to make Fröberg's conjecture more accessible to the average math graduate student by building up the necessary background material to understand specific examples where Fröberg's conjecture is true.

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La numérisation 3D permet de générer des représentations numériques très réalistes et fidèles géométriquement aux surfaces réelles. Cependant, cette fidélité géométrique, obtenue à l'aide d'un sur-échantillonnage de surfaces, augmente considérablement le volume de données générées. Les maillages ainsi produits sont donc très denses, et peu adaptés aux différents supports de visualisation, de transfert, de stockage, etc. La représentation semi-régulière des surfaces permet de diminuer le volume nécessaire à la représentation de ces maillages denses, et possède des qualités bien connues en matière de représentations multi-échelles et de compression. Cette thèse a pour objectif d'optimiser la chaîne de numérisation 3D classique en améliorant l'échantillonnage des surfaces tout en conservant la fidélité géométrique, et en court-circuitant les étapes fastidieuses qui conduisent à une représentation semi-régulière. Pour cela, nous avons intégré dans un système stéréoscopique, l'échantillonnage en disques de Poisson qui, grâce à ses propriétés de bruit bleu, réalise un bon compromis entre sous- et sur-échantillonnage. Ensuite, nous avons généré un mailleur semi-régulier, qui travaille directement sur les images stéréoscopiques, et non sur une version remaillée des nuages de points habituellement générés par ces systèmes. Les résultats expérimentaux montrent que ces deux contributions génèrent de façon efficace des représentations semi-régulières, qui sont géométriquement fidèles aux surfaces réelles, tout en réduisant le volume de données générées. / Nowadays, 3D digitization systems generate numeric representations that are both realistic and of high geometric accuracy with respect to real surfaces. However, this geometric accuracy, obtained by oversampling surfaces, increases significantly the generated amount of data. Consequently, the resulting meshes are very dense, and not suitable to be visualized, transmitted or even stored efficiently. Nevertheless, the semi-regular representation due to its scalable and compact representation, overcomes this problem. This thesis aims at optimizing the classic 3D digitization chain, by first improving the sampling of surfaces while preserving geometric features, and secondly shortening the number of required treatments to obtain such semi-regular meshes. To achieve this goal, we integrated in a stereoscopic system the Poisson-disk sampling that realizes a good tradeoff between undersampling and oversampling, thanks to its blue noise properties. Then, we produced a semi-regular meshing technique that directly works on the stereoscopic images, and not on a meshed version of point clouds, which are usually generated by such 3D scanners. Experimental results prove that our contributions efficiently generate semi-regular representations, which are accurate with respect to real surfaces, while reducing the generated amount of data.

Submitted by Renata Lopes (renatasil82@gmail.com) on 2017-05-31T13:46:49Z No. of bitstreams: 1 renanaugustodembogurski.pdf: 5268461 bytes, checksum: c9599f64f511590d6ff74c1f707b6e08 (MD5) / Approved for entry into archive by Adriana Oliveira (adriana.oliveira@ufjf.edu.br) on 2017-06-01T11:34:15Z (GMT) No. of bitstreams: 1 renanaugustodembogurski.pdf: 5268461 bytes, checksum: c9599f64f511590d6ff74c1f707b6e08 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-06-01T11:34:15Z (GMT). No. of bitstreams: 1 renanaugustodembogurski.pdf: 5268461 bytes, checksum: c9599f64f511590d6ff74c1f707b6e08 (MD5) Previous issue date: 2013-03-06 / CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / Este trabalho apresenta um método que permite a deformação de um terreno pela modificação do seu mapa de alturas em um ambiente de realidade aumentada. A estrutura hierárquica de malhas A4-8 foi utilizada para representar o terreno. Essa estrutura define um espaço paramétrico para calcular as coordenadas de um terreno no espaço Euclidiano R3. Em especial, este trabalho lida com o problema de modelagem de terrenos esféricos. Uma métrica de erro dependente do observador e da geometria do terreno utilizada tanto para sua observação quanto para sua modelagem. Os resultados demonstram que o uso da malha A4-8 em conjunto com o sistema de realidade aumentada tangível é flexível para modelar terrenos esféricos e pode ser facilmente modificada para terrenos com a topologia do cilindro e do toro. O desenvolvimento de um método de geração de malhas eficiente e de uso intuitivo, baseado em marcadores de realidade aumentada, é a principal contribuição deste trabalho. / This work presents a method that allows the deformation of a terrain by modifying your heightmap in an augmented reality environment. The hierarchical structure of A4 8 meshes was used to represent terrains. This structure defines a parameter space to calculate the coordinates of a field in the R3 Euclidean space. In particular, this paper deals with the problem of modeling spherical terrains. An error metric dependent on the observer and the geometry of the land used for its observation and modeling. The results demonstrate that the use of A4-8 mesh combined with the tangible augmented reality system is flexible to shape spherical terrains and can be easily modified to deal with other topologies, such as the torus and the cylinder. The development of an efficient and intuitive to use method for mesh generation, based on augmented reality markers, is the main contribution of this work.

[pt] A parametrização de superfícies triangularizadas, orientadas e sem bordo não se realiza em um único domínio planar e, por vezes, são sensíveis às descontinuidades ora introduzidas entre os múltiplos domínios planares solicitados. Para tanto, um domínio base não planar é exigido com uma estrutura diferenciável, bem como, a parametrização da superfície por este domínio. A principal abordagem desta tese utiliza uma estrutura de multi-triangulação que direciona a simplificação da superfície inicial numa superfície base e propõem uma projeção hierárquica dos vértices iniciais sobre este domínio. A projeção hierárquica é combinada com um sistema de parametrização da superfície base em domínios locais que são relacionados por funções de transição suaves. Como aplicação, o remalhamento semirregular de superfícies triangularizadas converte a superfície inicial, possivelmente irregular, em outra superfície com triangulação semirregular. A qualidade da triangulação e a preservação da forma original são aspectos importantes para o remalhamento e são resultantes da combinação de componentes envolvidas durante a sua construção, como a superfície base que aproxima a superfície inicial sem bordo, o particionamento semirregular desta superfície base e o reposicionamento de sua geometria. Um desafio significativo está no reposicionamento da geometria dos vértices que decorre da parametrização da superfície inicial. A otimização hierárquica realizada nestes domínios locais buscando reduzir as energias de distorção introduzidas pela parametrização, tal como, os atributos da superfície base são fundamentais para a qualidade deste remalhamento. A estrutura hierárquica permite flexibilidade durante a otimização e influencia no tempo de convergência. / [en] The parameterization of triangulated, oriented and free boundary surfaces does not take place in a single planar domain, and sometimes are sensitive to discontinuities introduced between the various planars domains requested. Therefore, a non-planar base domain is required with a differentiable structure, as well as a parameterization of the surface by this domain. The main approach of this thesis uses a multi-triangulation structure that directs the simplification of the initial surface to base surface and proposes a hierarchical projection of the initial vertices on the domain. A hierarchical projection is combined with a parameterization system of the initial surface composed of local domains related by smooth transition maps. As an application, the semi-regular remeshing of triangulated surfaces converts an input surface, possibly irregular, to another surface with semi-regular triangulation. The quality of the triangulation and the shape preserving are important aspects for the remeshing and are resulting from the components merge used during its building, such as the base surface that approximate the initial free boundary surface, refinement of the semi-regular surface and geometric fitting. An important challenge is the geometric fitting that results from the parameterization of the initial surface. The hierarchical optimization carried out in these local domains that minimizes the distortion energies produced by the parameterizations, such as the base surface attributes are fundamental to the quality of this remeshing. The hierarchical structure allows flexibility during optimization and influences the convergence time.

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