Die FitzHugh-Nagumo-Gleichungen besitzen Puls-Lösungen zu unterschiedlichen Geschwindigkeiten c. In dieser Arbeit wird ein Überblick der Existenz und Stabilität dieser Pulse gegeben. Dazu werden die geometrische singuläre Störungstheorie (Fenichel-Theorie) und der Ansatz der Evans-Funktion in allgemeinerer Form dargestellt. Im eigentlichen Hauptteil der Arbeit werden dann zunächst die langsamen Pulse konstruiert und ein zu [14] alternativer Beweis ihrer Instabilität geführt. Die schnellen Pulse wurden in [25] durch Shilnikov-Koordinaten konstruiert. Dieser Existenzbeweis wird in der Arbeit dargestellt.

Orientador: Tiago de Carvalho / Resumo: Nesta tese abordaremos aspectos qualitativos e dinâmicos de problemas envolvendo campos de vetores suaves por partes, também conhecidos como campos descontínuos. Primeiramente, apresentamos aplicações da teoria de campos de vetores descontínuos em modelos de tratamento intermitente de Câncer e Vírus da Imunodeficiência Humana onde exibimos a existência de singularidades típicas e órbitas periódicas. Ainda no contexto de aplicações, revisitamos um modelo predador-presa descontínuo de modo a concluir que o mesmo tem um comportamento caótico através da existência de uma órbita de Shilnikov. Posteriormente, respondemos questões sobre existência de conjuntos minimais e caóticos para campos de vetores descontínuos na esfera bidimensional. Em seguida, partimos ao estudo de bifurcação de ciclos limites em campos de vetores descontínuos tri e bidimensionais. No primeiro caso, perturbamos um campo descontínuo tangente a uma folheação por toros de modo a gerar uma quantidade finita ou infinita de ciclos limites. No segundo caso, estudamos uma família de campos descontínuos apresentando uma dobra-dobra invisível de costura, sua ciclicidade e a relação entre os coeficientes de Lyapunov desta família e sua regularização. Além disso, estudamos campos vetoriais suaves por partes Hamiltonianos contendo uma dobra-dobra invisível de costura donde apresentamos uma fórmula explícita para o cálculo dos cinco primeiros coeficientes de Lyapunov, além de explorar os diagramas de bifurcação gerados pe... (Resumo completo, clicar acesso eletrônico abaixo) / Abstract: In this work we discuss qualitative and dynamic features of problems involving piecewise smooth vector fields, also known as discontinuous vector fields. Firstly, we present applications of discontinuous vector field theory in Human Immunodeficiency Virus and Cancer intermittent treatment models where we exhibit typical singularities and periodic orbits. Moreover, we revisit a discontinuous predator-prey model in order to conclude that it has a chaotic behavior through the existence of a Shilnikov orbit. Next, we answer questions about the existence of minimal and chaotic sets in the bidimensional sphere for discontinuous vector fields. Subsequently, we investigate the creation of limit cycles in three and two-dimensional discontinuous vector fields. In the first case, we perturb a discontinuous vector field tangent to a foliation composed by topological nested tori to generate a finite or infinite number of limit cycles. In the second case, we analyze a family of discontinuous vector fields containing a crossing invisible fold-fold, their cyclicity and the relation between the Lyapunov coefficients of this family and their regularization. Also, we study general piecewise Hamiltonian vector fields presenting a crossing invisible fold-fold where we give an explicit formula for the computation of the five first Lyapunov coefficients in addition to the investigation of the bifurcation diagrams. / Doutor

Submitted by Franciele Moreira (francielemoreyra@gmail.com) on 2017-12-27T14:12:36Z No. of bitstreams: 2 Tese - Ubirajara José Gama de Castro - 2017.pdf: 14188106 bytes, checksum: 942882692cd259cae5e8d267f6ac1188 (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) / Approved for entry into archive by Luciana Ferreira (lucgeral@gmail.com) on 2017-12-28T09:43:26Z (GMT) No. of bitstreams: 2 Tese - Ubirajara José Gama de Castro - 2017.pdf: 14188106 bytes, checksum: 942882692cd259cae5e8d267f6ac1188 (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) / Made available in DSpace on 2017-12-28T09:43:26Z (GMT). No. of bitstreams: 2 Tese - Ubirajara José Gama de Castro - 2017.pdf: 14188106 bytes, checksum: 942882692cd259cae5e8d267f6ac1188 (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) Previous issue date: 2017-11-28 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / In this work we study reversible vector fields in two zones and equivariant vector fields in two zones. Our main result is the classification of the symmetric singularities of codimensions 0,1 and 2 of such vector fields. More precisely, in the reversible case in R3, where the dimension of the fixed points variety of the involution associated to the vector field is 2, we present all bifurcation diagram of the codimensions 1 and 2 singularities, describing the changes in the behavior of the symmetric singularities and tangents of the vector field with the transition manifold, S, according to the variation of the bifucartion parameter. We also show the existence of invariant cylinders and, in this case, doing small perturbations we determine invariant manifolds that persisted and we determine the number of limit cycles that were born. When the vector field defined on two zones is equivariant, the dynamic is enriched with the emergence of the sliding vector field and we also do a local study and the classification of singularities (and pseudo-singularities) of codimensions 0,1 and 2. We show the existence of homoclinic sliding orbit and that it is a codimension one phenomenon. Moreover, provided the symmetry we get a double Shilnikov sliding orbit. / Neste trabalho, estudamos campos vetoriais em duas zonas reversíveis e campos vetoriais em duas zonas equivariantes. Nosso resultado principal é a classificação das singularidades simétricas de codimensões 0, 1 e 2 de tais campos vetoriais. Mais precisamente, no caso reversível em R3, onde a dimensão da variedade de pontos fixos da involução associada ao campo vetorial é 2, apresentamos todos os diagramas de bifurcação das singularidades de codimensão 1 e 2, descrevendo as mudanças no comportamento das singularidades simétricas e das tangências do campo vetorial com a variedade de transição S, de acordo com a variação do parâmetro de bifurcação. Mostramos também a existência de cilindros invariantes e, nesse caso, fazendo pequenas perturbações determinamos variedades invariantes que persistiram e determinamos o número de ciclos limites que surgiram. Quando o campo vetorial definido em duas zonas é equivariante, a dinâmica é enriquecida com o surgimento do campo vetorial deslizante e também fazemos um estudo local e a classificação das singularidades (e pseudossingularidades) de codimensões 0, 1 e 2. Mostramos a existência de órbitas homoclínicas deslizantes e que esse é um fenômeno de codimensão 1 e devido à simetria do campo vetorial equivariante, teremos um duplo Shilnikov deslizante.