Dans cette these, nous etudions d'abord le probleme des singularites eliminables des EDP elliptiques du second ordre; le cas modele etant $- \Delta u + cu \geq f$ sur $\Omega \backslash K$, avec $u \geq 0$ et $(\rm cap)_2((K))=0$. Nous démontrons aussi un principe du maximum fort pour l'operateur $-\Delta + a(x)$, avec un potentiel $a \in L^1$. Ces deux résultats utilisent plusieurs formulations de l'inegalite de Kato classique. Nous presentons ensuite quelques variantes de l'inegalite de Poincare, motives par une nouvelle caracterisation des espaces de Sobolev. Puis, nous nous interessons aux singularites topologiques des fonctions dans l'espace $W^(1,1)(S^2;S^1)$. A cet effet, nous etudions leur energie relaxee et la variation totale du jacobien. Finalement, nous considerons plusieurs proprietes des distributions de la forme $\sum_j((\delta_(p_j) - \delta_(n_j)))$, definies sur un espace metrique complet.

Dans cette thèse, on aborde plusieurs questions ayant trait au calcul des variations et à la théorie des équations aux dérivées partielles elliptiques.<br /><br />Dans le chapitre 1, on étudie la condition de pente minorée pour des fonctions définies sur la frontière d'un ouvert de $\R^n.$ <br />Dans le chapitre 2, on s'intéresse à un problème de calcul des variations où la fonctionnelle est de la forme $$u\mapsto \int\{ F(\nabla u(x))+G(x,u(x))\}\,dx$$ et où la condition de Dirichlet est définie par une fonction vérifiant la condition de pente minorée. <br /> Dans le chapitre 3, on étudie une équation aux dérivées partielles elliptique à forme divergentielle avec une condition de Dirichlet qui vérifie la condition de pente minorée. <br />Dans le chapitre 4, on décrit les composantes connexes de l'ensemble $W^{s,p}(M,N).$ <br />Dans le chapitre 5, nous identifions l'ensemble singulier d'une fonction $u\in W^{s,p}(S^N,S^1).$