Ce mémoire s'organise autour de deux cadres d'étude : d'une part, celui des espaces symétriques riemanniens non compacts X = G/K, pour lesquels nous prouvons un encadrement optimal et global en les variables d'espace et de temps, du noyau de la chaleur associé à l'opérateur de Laplace-Beltrami L ; d'autre part, dans le cas d'un groupe de Lie semi-simple G, nous montrons que tous les sous-laplaciens sur G qui induisent l'action de L sur X = G/K présentent des analogies avec L vis-à-vis de l'équation de la chaleur : le bas de leur spectre L^2 est le même, les distances de Carnot-Carathéodory associées sont comparables à la métrique riemannienne sur X et, surtout, les noyaux de la chaleur sont tous comparables (en temps grand) au noyau de la chaleur sur X. Nous en déduisons en particulier des encadrements très précis des noyaux de la chaleur dans ce cadre, ainsi que des fonctions de Green correspondantes.

Le but de cette thèse est d'étudier le spectre du sous-laplacien sur les variétés CR strictement peusdoconvexes. Nous prouvons que le spectre du sous-laplacien $\Delta_b$ est discret sur un domaine borné $\Omega \subset M$ d'une variété CR strictement pseudoconvexe qui satisfait l'inégalité de Poincaré, sous les conditions de Dirichlet au bord. Nous étudions le comportement des valeurs propres du sous-laplacien $\Delta_b$ sur une variété CR strictement pseudoconvexe compacte $M$, en tant que fonctionnelle sur l'espace ${\mathcal P}_+$ de formes de contact positivement orientées sur $M$ en dotant ${\mathcal P}_+$ d'une topologie métrique naturelle. Nous établissons des inégalités pour les valeurs propres de $\Delta_b$ sur des variétés CR strictement pseudoconvexes ( éventuellement à bord non vide). Nos estimations prolongent les résultats obtenus par P-C. Niu \& H. Zhang \cite{NiZh} pour les valeurs propres du sous-laplacien avec conditions de Dirichlet au bord sur un domaine borné du groupe de Heisenberg, et sont dans l'esprit des inégalités de Payne-P\'lya-Weinberger et Yang. Nous obtenons une nouvelle borne inférieure sur la première valeur propre non nulle $\lambda_1 (\theta )$ du sous-laplacien $\Delta_b$ sur une variété CR strictement pseudoconvexe compacte $M$ munie d'une forme de contact $\theta$ dont la connexion de Tanaka-Webster est à courbure de Ricci minorée.

Le but de cette thèse est d’étudier le spectre du sous-laplacien sur les variétés CR strictement pseudoconvexe. Nous prouvons que le spectre du sous-laplacien $\Delta_b$ est discret sur un domaine borné $\Omega \subset M$ d’une variété CR strictement pseudoconvexe qui satisfait l’inégalité de Poincaré, sous les conditions de Dirichlet au bord. Nous étudions le comportement des valeurs propres du sous-laplacien $\Delta_b$ sur une variété C] strictement pseudoconvexe compacte $M$, en tait que fonctionnelle sur l’espace ${\mathcal P)_+$ de formes de contact positivement orientées sur $M$ en dotant $(\matheal P}_+$ d’une topologie métrique naturelle. Nous établissons des inégalités pour les valeurs propres de $\Delta_b$ sur des variétés CR strictement pseudoconvexes (éventuellement à bord non vide). Nos estimations prolongent les résultats d,tenus par P-C. Niu \& H. Zhang \cite{NiZh) pour les valeurs propres du sous-laplacien avec conditions de Dirichlet au bord sur un domaine borné du groupe de Heisenberg, et sont dans l’esprit des inégalités de Payne-PV(o)lya-Weinberger et Yang. Nous obtenons une nouvelle borne inférieure sur la première valeur propre non nulle $\lambda_l theta )$ du sous-laplacien $\Delta_b$ sur une variété CR strictement pseudoconvexe compacte $M$ munie d’une forme de contact S\theta$ dont la connexion de Tanaka-Webster est à courbure de Ricci minorée. / The purpose of this thesis is to study the spectrum of sublaplacians on compact strictly pseudoconvex CR manifolds. We prove the discreteness of the Dirichiet spectrum of the sublaplacian $\Delta_b$ on a smoothly bounded domain $\Omega \subset M$ in a strictly pseudoconvex CR manifold M satisfying Poincaré inequality. We study the behavior of the eigenvalues of a sublaplacian $\Delta_b$ on a compact strictly pseudoconvex CR manifol as functions on the set ${\mathcal P}_+$ of positively oriented contact forms on $M$ by endowing ${\mathcal P)_+$ with a natural metric topology. We establish inequalities for the eigenvalues of $Delta_b$ on compact strictly pseudoconvex CR manifolds (possibly with nonempty boundary) %$C^2$ semi-isometric maps into a Euclidean space or a Heisenberg group. Our estimates extend those obtained by P-C. Niu \& H. Zhang \cite{NiZh} for the Dirichlet eigenvalues 0f the sublaplacian on a bounded domain in the Heisenberg group, in the spirit of Payne-P\’{o)lya -Weinberger and Yang inequalities. We establish a new lower bound on the first nonzero eigenvalue$\lambda_t (\theta )$ of the sublaplacian $\Delta_b$ on a compact strictly pseudoconvex CR manifold $M$ carrying a contact form $\theta$ whose Tanaka-Webster connection has Ricci curvature bounded from below.