In this dissertation we first formulate the Black-Scholes equation with a tensor (or matrix) diffusion coefficient into a conservative form and present a convergence analysis for the two-dimensional Black-Scholes equation arising in the Hull-White model for pricing European options with stochastic volatility. We formulate a non-conforming Petrov-Galerkin finite element method with each basis function of the trial space being determined by a set of two-point boundary value problems defined on element edges. We show that the bilinear form of the finite element method is coercive and continuous and establish an upper bound of order O(h) on the discretization error of method, where h denotes the mesh parameter of the discretization. We then present a finite volume method for the resulting equation, based on a fitting technique proposed for a one-dimensional Black-Scholes equation. We show that the method is monotone by proving that the system matrix of the discretized equation is an M-matrix. Numerical experiments, performed to demonstrate the usefulness of the method, will be presentd.

>Magister Scientiae - MSc / We present the Black-Scholes Merton partial differential equation (BSMPDE) and its analytical solution. We present the Black-Scholes option pricing model and list some limitations of this model. We also present a nonlinear model (the Frey-Patie model) that may improve on one of these limitations. We apply various numerical methods on the BSMPDE and run simulations to compare which method performs best in approximating the value of a European put option based on the maximum errors each method produces when we vary some parameters like the interest rate and the volatility. We re-apply the same finite difference methods on the nonlinear model. / 2025

The famous Black-Scholes partial differential equation is one of the most widely used and researched equations in modern financial engineering to address the complex evaluations in the financial markets. This thesis investigates a numerical technique, using a fourth-order discretization in time and space, to solve a generalized version of the classical Black-Scholes partial differential equation. The numerical discretization in space consists of a fourth order centered difference approximation in the interior points of the spatial domain along with a fourth order left and right sided approximation for the points near the boundary. On the other hand, the temporal discretization is made by implementing a Runge-Kutta order four (RK4) method. The designed approximations are analyzed numerically with respect to stability and convergence properties.

Disertacijoje nagrinėjami nestacionarių matematinių modelių nestandartinėse srityse skaitiniai sprendimo algoritmai. Uždavinio formulavimo sritis yra šakotosios struktūros (ang. branching structures), kurių išsišakojimo taškuose apibrėžiami tvermės dėsniai. Tvermės dėsnių skaitinė analizė ir nestandartinių kraštinių sąlygų analizė skiria nagrinėjamus uždavinius nuo klasikinių aprašytų literatūroje matematinės fizikos uždavinių. Disertacijoje suformuluoti uždaviniai apima skaitinių algoritmų šakotose struktūrose su skirtingais srautų tvermės dėsniais stabilumo ir konvergavimo tyrimą, lygiagrečiųjų algoritmų sudarymą ir taikymą, skaitinių schemų uždaviniams su nelokaliomis integralinėmis sąlygomis tyrimą. Disertacijoje sprendžiami taikomieji neurono sužadinimo ir impulso relaksacijos lazerio apšviestame puslaidininkyje uždaviniai, netiesinio modelio identifikavimo uždavinys. Disertaciją sudaro įvadas, penki skyriai, rezultatų apibendrinimas, literatūros šaltinių sąrašas ir autorės publikacijų disertacijos tema sąrašas. Įvadiniame skyriuje formuluojama problema, aprašytas tyrimų objektas, darbo aktualumas, formuluojami darbo tikslai ir uždaviniai, aprašoma tyrimų metodika, darbo mokslinis naujumas, darbo rezultatų praktinė reikšmė, pateikti ginamieji teiginiai ir disertacijos struktūra. Pabaigoje pristatomi pranešimai konferencijose disertacijos tema. Pirmajame skyriuje pateikta matematinių modelių nestandartinėse srityse arba su nestandartinėmis sąlygomis apžvalga. Antrajame... [toliau žr. visą tekstą] / The numerical algorithms for non-stationary mathematical models in non-standard domains are investigated in the dissertation. The problem definition domain is represented by branching structures with conjugation equations considered at the branching points. The numerical analysis of the conjugation equations and non-classical boundary conditions distinguish considered problems among the classical problems of mathematical physics presented in the literature. The scope of the dissertation covers the investigation of stability and convergence of the numerical algorithms on branching structures with different conjugation equations, the construction and implementation of parallel algorithms, the investigation of the numerical schemes for the problems with nonlocal integral conditions. The modeling of the excitation of neuron and photo-excited carrier decay in a semiconductor, also the problem of the identification of nonlinear model are considered in the dissertation. The dissertation consists of an introduction, five chapters, main conclusions, bibliography and the list of the author's publications on the topic of dissertation. Introductory chapter covers the problem formulation and the object of research, the topicality of the thesis, the aims and objectives of the dissertation, the methodology of research, scientific novelty and the practical value of the achieved results. The defended thesis and structure of the dissertation are given in this chapter. The first chapter... [to full text]

The numerical algorithms for non-stationary mathematical models in non-standard domains are investigated in the dissertation. The problem definition domain is represented by branching structures with conjugation equations considered at the branching points. The numerical analysis of the conjugation equations and non-classical boundary conditions distinguish considered problems among the classical problems of mathematical physics presented in the literature. The scope of the dissertation covers the investigation of stability and convergence of the numerical algorithms on branching structures with different conjugation equations, the construction and implementation of parallel algorithms, the investigation of the numerical schemes for the problems with nonlocal integral conditions. The modeling of the excitation of neuron and photoexcited carrier decay in a semiconductor, also the problem of the identification of nonlinear model are considered in the dissertation. / Disertacijoje nagrinėjami nestacionarių matematinių modelių nestandartinėse srityse skaitiniai sprendimo algoritmai. Uždavinio formulavimo sritis yra šakotosios strukturos (ang. branching structures), kurių išsišakojimo taškuose apibrežiami tvermės dėsniai. Tvermės dėsnių skaitinė analizė ir nestandartinių kraštinių sąlygų analizė skiria nagrinėjamus uždavinius nuo klasikinių aprašytų literatūroje matematinės fizikos uždaviniu. Disertacijoje suformuluoti uždaviniai apima skaitinių algoritmų šakotose struktūrose su skirtingais srautų tvermės dėsniais stabilumo ir konvergavimo tyrimą, lygiagrečiųjų algoritmų sudarymą ir taikymą, skaitinių schemų uždaviniams su nelokaliomis integralinėmis sąlygomis tyrimą. Disertacijoje sprendžiami taikomieji neurono sužadinimo ir impulso relaksacijos lazerio apšviestame puslaidininkyje uždaviniai, netiesinio modelio identifikavimo uždavinys.