Nous présentons trois résultats dans cette thèse. Dans le chapitre 2 nous montrons l’existence d’un zéro-cycle cx sur une hypersurface X de type Calabi–Yau dans une varieté homogène projective complexe. Plus précisement, nous montrons que l’intersection de n diviseurs sur X, où n = dim X, est proportionnelle à la classe d’un point supporté sur une courbe rationnelle dans X. Dans le chapitre 3 nous donnons une nouvelle preuve du théorème de Beauville et Voisin portant sur la décomposition de la petite diagonale d’une surface K3 notée S. La preuve que nous donnons est explicite et utilise le plongement de degré 2g-2 de S dans l’espace projectif de la dimension g. Elle est différente de celle donnée par Beauville et Voisin, qui repose sur l’existence d’une famille à un paramètre de courbes elliptiques. Le chapitre 4 est consacré à l’étude des similitudes entre la variété de Fano des droites d’une cubique de dimension 4, qui est une variété hyper-Kählerienne étudiée par Beauville et Donagi, et la variété hyper-Kählerienne de dimension 4 construite par Debarre et Voisin dans [11]. Nous introduisons un analogue de la notion de triangle pour ces variétés et prouvons que la variété des triangles, qui est de dimension 6, est une sous-variété Lagrangienne du cube de la variété hyper-Kählerienne construite par Debarre et Voisin. / We present in this thesis three results. In Chapter 2 we prove the existence of a canonical zero-cycle cX on a Calabi–Yau hypersurfacee X in a complex projective homogeneous variety. Namely, we show that the intersection of any n divisors on X , n = dim X is proportional to the class of a point on a rational curve in X. In Chapter 3 we give a new proof of the theorem of Beauville and Voisin about the decomposition of the small diagonal of a K3 surface S. Our proof is explicit and uses the degree 2g-2 embedding of S in projective space of dimension g. It is different from the one used by Beauville and Voisin, which employed the existence of one-parameters familie of elliptic curves. Chapter 4 is devoted to the study of similarities between the Fano varieties of lines on a cubic fourfold, a hyper-Kähler fourfold studied by Beauville and Donagi, and the hyper-Kähler fourfold constructed by Debarre and Voisin in [11]. We exhibit an analog of the notion of "triangle" for these varieties and prove that the 6-dimensional variety of "triangles" is a Lagrangian subvariety in the cube of the constructed hyper-Kähler fourfold.

Diese Dissertation behandelt arithmetische Eigenschaften von Familien algebraischer Varietäten und deren speziellen Untervarietäten. Im ersten Kapitel definieren wir sogenannte absolut spezielle Untervarietäten mithilfe von Delignes Begriff der absoluten Hodgeklassen. Ausgehend von der Vermutung, dass alle Hodgeklassen absolute Hodgeklassen sind, erwarten wir, dass alle speziellen Untervarietäten absolut speziell sind. Wir beweisen diese Erwartung für Untervarietäten, die eine bestimmte Monodromiebedingung erfüllen. Das zweite Kapitel führt eine l-adische Version von speziellen Untervarietäten ein, die wir l-Galois spezielle Untervarietäten nennen. Wir studieren bewiesene und vermutete Eigenschaften dieser Untervarietäten und deren Zusammenhang zur Struktur des l-Galois exzeptionellen Locus und zur Mumford-Tate Vermutung. Im dritten Kapitel beweisen wir eine Rapoport-Zink Uniformisierung für den Modulraum der primitiv polarisierten K3 Flächen und kubischen Vierfaltigkeiten mit supersingulärer Reduktion. In beiden Fällen ist der Modulraum uniformisiert von einer explizit definierten rigid analytischen Untervarietät einer lokalen Shimura-Varietät von orthogonalem Typ. / This thesis studies arithmetic aspects of families of algebraic varieties and their special subvarieties. In the first part, we use Deligne's framework of absolute Hodge classes to define a notion of absolutely special subvarieties. The conjecture that all Hodge classes are absolute Hodge predicts that every special subvariety is absolutely special. We prove this prediction for subvarieties satisfying a certain monodromy condition. The second part introduces an l-adic analog of special subvarieties that we call l-Galois special subvarieties. We study the properties of these subvarieties and discuss how known and unknown properties of l-Galois special subvarieties are related to the structure of the l-Galois exceptional locus and to the Mumford-Tate conjecture. In the third chapter, we prove a Rapoport-Zink type uniformization result for the moduli space of polarized K3 surfaces and cubic fourfolds. We show that in both cases, the tube over the supersingular locus of the moduli space is uniformized by an explicitly described rigid analytic open subvariety of a local Shimura variety of orthogonal type.

La conjecture de Zilber-Pink est une conjecture diophantienne concernant les intersections atypiques dans les variétés de Shimura mixtes. C’est une généralisation commune de la conjecture d’André-Oort et de la conjecture de Mordell-Lang. Le but de cette thèse est d’étudier Zilber-Pink. Plus concrètement, nous étudions la conjecture d’André-Oort, selon laquelle une sous-variété d’une variété de Shimura mixte est spéciale si son intersection avec l’ensemble des points spéciaux est dense, et la conjecture d’André-Pink-Zannier, selon laquelle une sous-variété d’une variété de Shimura mixte est faiblement spéciale si son intersection avec une orbite de Hecke généralisée est dense. Cette dernière conjecture généralise Mordell-Lang comme expliqué par Pink.Dans la méthode de Pila-Zannier, un point clef pour étudier la conjecture de Zilber-Pink est de démontrer le théorème d’Ax-Lindemann qui est une généralisation du théorème classique de Lindemann-Weierstrass dans un cadre fonctionnel. Un des résultats principaux de cette thèse est la démonstration du théorème d’Ax-Lindemann dans sa forme la plus générale, c’est- à-dire le théorème d’Ax-Lindemann mixte. Ceci généralise les résultats de Pila, Pila-Tsimerman, Ullmo-Yafaev et Klingler-Ullmo-Yafaev concernant Ax-Lindemann pour les variétés de Shimura pures.Un autre résultat de cette thèse est la démonstration de la conjecture d’André-Oort pour une grande collection de variétés de Shimura mixtes : in- conditionnellement pour une variété de Shimura mixte arbitraire dont la par- tie pure est une sous-variété de AN6 (par exemple les produits des familles universelles des variétés abéliennes de dimension 6 et le fibré de Poincaré sur A6) et sous GRH pour toutes les variétés de Shimura mixtes de type abélien. Ceci généralise des théorèmes connus de Klinger-Ullmo-Yafaev, Pila, Pila-Tsimerman et Ullmo pour les variétés de Shimura pures.Quant à la conjecture d’André-Pink-Zannier, nous démontrons plusieurs cas valables lorsque la variété de Shimura mixte ambiante est la famille universelle des variétés abéliennes. Tout d’abord nous démontrons l’intersection d’André-Oort et André-Pink-Zannier, c’est-à-dire que l’on étudie l’orbite de Hecke généralisée d’un point spécial. Ceci généralise des résultats d’Edixhoven-Yafaev et Klingler-Ullmo-Yafaev pour Ag. Nous prouvons ensuite la conjecture dans le cas suivant : une sous-variété d’un schéma abélien au dessus d’une courbe est faiblement spéciale si son intersection avec l’orbite de Hecke généralisée d’un point de torsion d’une fibre non CM est Zariski dense. Finalement pour une orbite de Hecke généralisée d’un point algébrique arbitraire, nous démontrons la conjecture pour toutes les courbes. Ces deux derniers cas généralisent des résultats de Habegger-Pila et Orr pour Ag.Dans toutes les démonstrations, la théorie o-minimale, en particulier le théorème de comptage de Pila-Wilkie, joue un rôle important. / The Zilber-Pink conjecture is a diophantine conjecture concerning unlikely intersections in mixed Shimura varieties. It is a common generalization of the André-Oort conjecture and the Mordell-Lang conjecture. This dissertation is aimed to study the Zilber-Pink conjecture. More concretely, we will study the André-Oort conjecture, which predicts that a subvariety of a mixed Shimura variety having dense intersection with the set of special points is special, and the André-Pink-Zannier conjecture which predicts that a subvariety of a mixed Shimura variety having dense intersection with a generalized Hecke orbit is weakly special. The latter conjecture generalizes the Mordell-Lang conjecture as explained by Pink.In the Pila-Zannier method, a key point to study the Zilber-Pink conjec- ture is to prove the Ax-Lindemann theorem, which is a generalization of the functional analogue of the classical Lindemann-Weierstrass theorem. One of the main results of this dissertation is to prove the Ax-Lindemann theorem in its most general form, i.e. the mixed Ax-Lindemann theorem. This generalizes results of Pila, Pila-Tsimerman, Ullmo-Yafaev and Klingler-Ullmo-Yafaev concerning the Ax-Lindemann theorem for pure Shimura varieties.Another main result of this dissertation is to prove the André-Oort conjecture for a large class of mixed Shimura varieties: unconditionally for any mixed Shimura variety whose pure part is a subvariety of AN6 (e.g. products of universal families of abelian varieties of dimension 6 and the Poincaré bundle over A6) and under GRH for all mixed Shimura varieties of abelian type. This generalizes existing theorems of Klinger-Ullmo-Yafaev, Pila, Pila-Tsimerman and Ullmo concerning pure Shimura varieties.As for the André-Pink-Zannier conjecture, we prove several cases when the ambient mixed Shimura variety is the universal family of abelian varieties. First we prove the overlap of André-Oort and André-Pink-Zannier, i.e. we study the generalized Hecke orbit of a special point. This generalizes results of Edixhoven-Yafaev and Klingler-Ullmo-Yafaev for Ag. Secondly we prove the conjecture in the following case: a subvariety of an abelian scheme over a curve is weakly special if its intersection with the generalized Hecke orbit of a torsion point of a non CM fiber is Zariski dense. Finally for the generalized Hecke orbit of an arbitrary algebraic point, we prove the conjecture for curves. These generalize existing results of Habegger-Pila and Orr for Ag.In all these proofs, the o-minimal theory, in particular the Pila-Wilkie counting theorems, plays an important role.