Cette thèse est consacrée à l'étude de quelques aspects de la récurrence de trois classes de systèmes dynamiques : systèmes dynamiques $p$-adiques polynomiaux, systèmes topologiques ayant la propriété de spécification et système de Gauss associé aux fractions continues.<br /><br />Dans une première partie, on étudie d'abord les polynômes à coefficients dans $\mathbb{Z}_p$ d'ordre supérieur à $2$, comme des systèmes dynamiques sur $\mathbb{Z}_p$. Nous prouvons que pour un tel système, $\mathbb{Z}_p$ est composé des composants minimaux et de leurs bassins d'attraction. Pour tout polynôme quadratique sur $\mathbb{Z}_2$, nous exhibons tous ses composants minimaux. On étudie également les polynômes localement dilatants et transitifs. Nous montrons que la restriction d'un tel polynôme sur son ensemble de Julia est conjugué à un sous-shift de type fini.<br /><br />Dans une deuxième partie, nous prouvons que pour un système dynamique compact ayant la propriété de spécification, l'entropie topologique de l'ensemble des points génériques d'une mesure invariante est égale à l'entropie de la mesure. En corollaire, nous établissons un principe variationnel pour le spectre d'entropie topologique des moyennes de Birkhoff à valeurs dans un espace de Banach.<br /><br />La dernière partie est consacrée à l'étude des fractions continues. Nous trouvons en s'appuyant sur la théorie de l'opérateur de Ruelle, les spectres multifractals complets de l'exposant de Khintchine et de l'exposant de Lyapunov, qui ne sont ni concaves ni convexes. Notre résultat sur le spectre de Lyapunov complète celui de Pollicott et Weiss. Nous avons aussi bien étudié les fractions continues extrêmement non-normales et la fréquence des quotients partiels. Notre travail sur la fréquence complète celui de Billingsley et Henningsen.

Dans cette thèse, nous étudions la minimalité et la propriété chaotique de systèmes dynamiques p-adiques. Nous étudions aussi des propriétés multifractales des séries de Davenport avec translation de phases. Dans la première partie, nous commençons par l'étude des systèmes dynamiques affines sur Zp. Nous trouvons une condition nécessaire et suffisante pour qu'un tel système soit minimal. En outre, nous exhibons toutes ses composantes strictement ergodiques si le système n'est pas minimal. De plus, nous étudions aussi les systèmes monômes sur le groupe 1+pZp. Ensuite nous étudions les polynômes localement dilatants et transitifs. Pour un tel polynôme, limité sur son ensemble de Julia, nous prouvons qu'il est conjugué à un sous-shift de type fini. Dans la deuxième partie, nous étudions les séries de Davenport avec translation de phases. Après avoir calculé le saut d'une telle série à chaque point, nous trouvons l'ensemble des points discontinus et obtenons une condition nécessaire et suffisante pour qu'une série de Davenport avec translation de phases soit continue sur R. La convergence ponctuelle de la série est aussi étudiée. Ensuite, nous estimons la borne inférieure de l'exposant hölderien de la série de Davenport avec de phase rationnelle et la borne supérieure du spectre de la singularité / In this thesis, we study the minimality and the chaotic property of p-adic dynamical systems and some multifractal properties of phase translated Davenport series. In the first part, we begin with the study of affine dynamical systems on Zp. We find a necessary and sufficient condition for such a system to be minimal. Furthermore, all its strictly ergodic components are exhibited when it is not minimal. In addition, we study monomial systems on the group 1 + pZp. Then transitive locally expanding polynomial systems are studied. It is proved that such a polynomial system, restricted to its Julia set, is conjugate to a subshift of finite type. In the second part, we study phase translated Davenport series. After having calculated the jump of the series at each point, we characterize the set of discontinuous points and get a sufficient and necessary condition for the series to be continuous on R. Furthermore, the pointwise convergence of the series is studied. Then we estimate the lower bound of the Hölder-exponent of rational translated Davenport series and get an upper bound estimation on the spectrum of singularity. The lower bound of the Hölder-exponent are also discussed for some irrational translated series

Cette thèse est consacrée à l'étude du modèle de Potts p-adique à q états sur les arbres de Cayley. Plus précisément, nous étudions les mesures de Gibbs p-adiques du modèle de Potts sur les arbres de Cayley d’ordres 3 et 4 et leurs systèmes dynamiques p-adiques associés.Dans la première partie, nous décrivons les mesures de Gibbs p-adiques invariantes par translations pour le modèle de Potts sur l’arbre de Cayley d'ordre 4. L’existence de mesures de Gibbs p-adiques invariantes par translations est équivalente à l’existence de points fixes d’une fonction rationnelle appelée fonction de Potts--Bethe. Cette fonction de Potts--Bethe est obtenue à partir de l'équation récurrente d'une fonction à valeur dans Q_p^q rencontrée lors de la construction des mesures de Gibbs p-adiques du modèle de Potts sur les arbres de Cayley. Afin de décrire ces mesures de Gibbs p-adiques invariantes par translations, nous trouvons les solutions d'une équation quartique dans certains domaines E_p de Q_p. En général, nous trouvons aussi des conditions de solvabilité pour les équations quartiques dépressées sur Q_p.Dans la deuxième partie, nous étudions la dynamique des fonctions de Potts--Bethe dans le cas d’arbres de Cayley d'ordres 3 et 4. Premièrement, nous décrivons la fonction de Potts--Bethe ayant une bonne réduction. Pour une fonction de Potts--Bethe ayant une bonne réduction, la droite projective P^1(Q_p) peut être décomposée en composants minimaux et leur bassins attractifs. Cependant, les fonctions de Potts--Bethe associées au modèle de Potts sur les arbres de Cayley d'ordres 3 et 4 ont une mauvaise réduction : pour de nombreux nombres premiers p, ces fonctions correspondantes sont en effet chaotiques. En fait, pour ces nombres premiers p, nous prouvons que, restreintes à leurs ensembles de Julia, les fonctions de Potts--Bethe sont topologiquement conjuguées à une dynamique de décalage. Pour des autres nombres premiers p, l'ensemble de Julia correspondant peut être vide. La propriété chaotique de la fonction de Potts-Bethe implique l'immensité de l'ensemble des mesures de Gibbs p-adiques et une transition de phase. Comme application, nous obtenons que pour de nombreux nombres premiers p, les modèles de Potts p-adiques sur les arbres de Cayley d'ordres 3 et 4 ont une transition de phase. Nous remarquons également que l'affirmation que la transition de phase implique le chaos n'est pas vraie. / This thesis is devoted to the study of the q-state p-adic Potts model on Cayley trees. Specifically, we investigate the p-adic Gibbs measures of the Potts model on the Cayley trees of orders 3 and 4 and their related p-adic dynamical systems.In the first part, we describe the existence of the translation-invariant p-adic Gibbs measures of the Potts model on the Cayley tree of order 4. The existence of translation-invariant p-adic Gibbs measures is equivalent to the existence of fixed points of a rational map called Potts–Bethe mapping. The Potts–Bethe mapping is derived from the recurrent equation of a Q_p^q-valued function in the construction of the p-adic Gibbs measures of the Potts model on Cayley trees. In order to describe the existence of these translation-invariant p-adic Gibbs measures, we find the solutions of some quartic equation in some domains E_p of Q_p. In general, we also provide some solvability conditions for the depressed quartic equation on Q_p.In the second part, we study the dynamics of the Potts–Bethe mapping of degrees 3 and 4. First, we describe the Potts–Bethe mapping having good reduction. For a Potts– Bethe mapping with good reduction, the projective line P^1(Qp) can be decomposed into minimal components and their attracting basins. However, the Potts–Bethe mapping associated to the Potts model on the Cayley trees of orders 3 and 4 have bad reduction. For many prime numbers p, such Potts–Bethe mappings are chaotic. In fact, for these primes p, we prove that restricted to their Julia sets, the Potts–Bethe mappings are topologically conjugate to the full shift dynamics. For other primes p, the corresponding Julia set might be empty. The chaotic property of the Potts-Bethe mapping implies the vastness of the set of the p-adic Gibbs measures, and hence implies the phase transition. As application, for many prime numbers p, the Potts models over Q_p on the Cayley trees of orders 3 and 4 have phase transition. We also remark the statement that phase transition implies chaos is not true.