Nous nous plaçons dans le cadre de l'anneau des polynômes sur un corps fini. Si P est un polynôme de degré au moins 1, tout polynôme Q se décompose de manière unique sous la forme d'une combinaison linéaire de puissances de P, dont les coefficients sont des polynômes dont le degré est strictement inférieur à celui de P. À une telle décomposition, nous associons un mot que nous appelons la P-représentation du polynôme Q. Un ensemble de polynômes est alors qualifié de P-reconnaissable si il existe un automate fini déterministe qui accepte l'ensemble des P-représentations de ses éléments.<BR><BR> Dans cette thèse, nous montrons que les ensembles P-reconnaissables sont exactement ceux qui sont définissables par une formule du premier ordre dans une certaine structure S(P) basée sur un prédicat dépendant du polynôme P. Nous donnons aussi une caractérisation des ensembles P-reconnaissables en terme de suites P-automatiques. Nous apportons également une réponse partielle à la question de savoir quels sont les ensembles reconnaissables simultanément dans toutes les bases de degré au moins 1. Finalement, nous montrons que si P et Q sont deux polynômes de degré au moins 1 et multiplicativement indépendants, alors la multiplication est définissable dans la réunion des structures S(P) et S(Q).

This thesis studies the properties of finite automata recognizing sets of real vectors encoded in positional notation using an integer base. We consider both general infinite-word automata, and the restricted class of weak deterministic automata, used, in particular, as symbolic data structures for representing the sets of vectors definable in the first order additive theory of real and integer numbers. <br><br> In previous work, it has been established that all sets definable in the additive theory of reals and integers can be handled by weak deterministic automata regardless of the chosen numeration base. In this thesis, we address the reciprocal property, proving that the sets of vectors that are simultaneously recognizable in all bases, by either weak deterministic or Muller automata, are those definable in the additive theory of reals and integers. <br><br> Precisely, for weak deterministic automata, we establish that the sets of real vectors simultaneously recognizable in two multiplicatively independent bases are necessarily definable in the additive theory of reals and integers. For general automata, we show that the multiplicative independence is not sufficient, and we prove that, in this context, the sets of real vectors that are recognizable in two bases that do not share the same set of prime factors are exactly those definable in the additive theory of reals and integers. <br><br> Those results lead to a precise characterization of the sets of real vectors that are recognizable in multiple bases, and provide a theoretical justification to the use of weak automata as symbolic representations of sets. <br><br> As additional contribution, we also obtain valuable insight into the internal structure of automata recognizing sets of vectors definable in the additive theory of reals and integers.