Cette thèse étudie comment l'intégration du calcul dans les démonstrations peut les simplifier. Nous nous intéressons pour cela à la déduction modulo et à la surdéduction, deux formalismes proches dans lesquels le calcul est incorporé dans les démonstrations via un système de réécriture. Pour améliorer la recherche mécanisée de démonstration, nous considérons trois critères de simplicité.<br /><br />L'admissibilité des coupures permet de restreindre l'espace de recherche des démonstrations, mais elle n'est pas toujours assurée en déduction modulo. Nous définissons une procédure qui complète le système de réécriture pour, au final, admettre les coupures. Au passage, nous montrons comment transformer toute théorie pour l'intégrer à la partie calculatoire des démonstrations.<br /><br />Nous montrons ensuite comment la déduction modulo permet de réduire arbitrairement la taille des démonstrations, en transférant des étapes de déduction dans le calcul. En particulier, nous appliquons ceci à l'arithmétique d'ordre supérieur pour démontrer que les réductions de taille qui sont possibles en augmentant l'ordre dans lequel on se place disparaissent si on travaille en déduction modulo. <br /><br />Suite à ce dernier résultat, nous avons recherchés quels sont les systèmes d'ordre supérieur pouvant être simulés au premier ordre, en déduction modulo. Nous nous sommes intéressés aux systèmes de type purs et nous montrons comment ils peuvent être encodés en surdéduction, ce qui offre de nouvelles perspectives concernant leur normalisation et la recherche de démonstration dans ceux-ci. Nous développons également une méthodologie qui permet d'utiliser la surdéduction pour spécifier des systèmes de déduction.

Les trois chapitres de ce texte traitent quatre problemes de nature geometrique, dynamique ou algebrique, ayant un lien avec le procede de suspension (ou mapping-torus). Le premier chapitre presente un theoreme de combinaison general pour les graphes de groupes relativement hyperboliques (Gromov, Farb). Le deuxieme chapitre aborde deux questions de dynamique topologique : d'une part la generalisation, aux applications continues de graphes, de la notion de type d'orbite (Sharkovskii, Boyland) ; d'autre part la caracterisation de l'existence d'une structure de suspension pour certaines surfaces branchees (Williams). Le troisiµeme chapitre traite de la recherche de caracterisations, combinatoires ou dynamiques, des automorphismes geometriques parmi les automorphismes du groupe libre.

On appelle suite récurrente stochastique (SRS) dirigée par une suite de matrices aléatoires une suite de variables aléatoires telles que le terme de rang n+1 est obtenu en multipliant celui de rang n par la enième matrice. Cette thèse porte sur le comportement asymptotique de telles suites. Dans la première partie, les matrices sont inversibles et on donne un critère de séparation des exposants de Lyapunov quand la suite de matrices suit une mesure de Gibbs sur un sous-shift de type fini. Dans la seconde partie, les produits se font au sens max-plus. On montre que le comportement des SRS au premier ordre est essentiellement déterminé par celui de certains blocs diagonaux et que la propriété de perte de mémoire, qui assure la stabilité des SRS, est générique. Si une suite de matrices (ou d'applications topicales) aléatoires est i.i.d. et a la propriété de perte de mémoire, alors les SRS qu'elle dirige vérifient des théorèmes limites. Ce résultat est obtenu par la méthode du trou spectral.