Dans cette thèse nous étudions des questions de stabilité géométrique pour des variétés kähleriennes à courbure scalaire constante (cscK) avec classe de cohomologie transcendante. En tant que point de départ, nous introduisons des notions généralisées de K-stabilité, étendant une image classique introduite par G. Tian et S. Donaldson dans le cadre des variétés polarisées. Contrairement à la théorie classique, ce formalisme nous permet de traiter des questions de stabilité pour des variétés kähleriennes compactes non projectives ainsi que des variétés projectives munis de polarisations non rationnelles. Dans une première partie, nous étudions les rayons sous-géodésiques associés aux configurations tests dites cohomologiques, objets introduitent dans cette thèse. Nous établissons ainsi des formules fondamentales pour la pente asymptotique d'une famille de fonctionnelles d'énergie, le long de ces rayons géodésiques. Ceci est lié au couplage de Deligne en géométrie algébrique, et ce formalise permet en particulier de comprendre le comportement asymptotique d'un grand nombre de fonctionnelles d'énergie classiques en géométrie kählerienne, y compris la fonctionnelle d'Aubin-Mabuchi et la K-énergie. En particulier, ceci fournit une approche pluripotentielle naturelle pour étudier le comportement asymptotique des fonctionnelles d'énergie dans la théorie de K-stabilité. En s'appuyant sur cette première partie, nous démontrons ensuite un certain nombre de résultats de stabilité pour les variétés cscK. Tout d'abord, nous prouvons que les variétés cscK sont K-semistables dans notre sens généralisé, prolongeant ainsi un résultat dû à Donaldson dans le cadre projectif. En supposant que le groupe d'automorphisme est discret, nous montrons en outre que la K-stabilité est une condition nécessaire pour l'existence des métriques cscK sur des variétés kähleriennes compactes. Plus précisément, nous prouvons que la coercivité de la K-énergie implique la K-stabilité uniforme, ainsi généralisant des résultats de Mabuchi, Stoppa, Berman, Dervan et Boucksom-Hisamoto-Jonsson pour des variétés polarisées. Cela donne une preuve nouvelle et plus générale d'une direction de la conjecture Yau-Tian-Donaldson dans ce contexte. L'autre direction (suffisance de K-stabilité) est considérée comme l'un des problèmes ouverts les plus importants en géométrie kählerienne. Nous donnons enfin des résultats partiels dans le cas des variétés kähleriennes compactes qui admettent des champs de vecteurs holomorphes non triviaux. Nous discutons également autour des perspectives et applications de notre théorie de K-stabilité pour les variétés kähleriennes avec classe transcendante, notamment à l'étude des lieux de stabilité dans le cône de Kähler. / In this thesis we are interested in questions of geometric stability for constant scalar curvature Kähler (cscK) manifolds with transcendental cohomology class. As a starting point we develop generalized notions of K-stability, extending a classical picture for polarized manifolds due to G. Tian, S. Donaldson, and others, to the setting of arbitrary compact Kähler manifolds. We refer to these notions as cohomological K-stability. By contrast to the classical theory, this formalism allows us to treat stability questions for non-projective compact Kähler manifolds as well as projective manifolds endowed with non-rational polarizations. As a first main result and a fundamental tool in this thesis, we study subgeodesic rays associated to test configurations in our generalized sense, and establish formulas for the asymptotic slope of a certain family of energy functionals along these rays. This is related to the Deligne pairing construction in algebraic geometry, and covers many of the classical energy functionals in Kähler geometry (including Aubin's J-functional and the Mabuchi K-energy functional). In particular, this yields a natural potential-theoretic aproach to energy functional asymptotics in the theory of K-stability. Building on this foundation we establish a number of stability results for cscK manifolds: First, we show that cscK manifolds are K-semistable in our generalized sense, extending a result due to S. Donaldson in the projective setting. Assuming that the automorphism group is discrete we further show that K-stability is a necessary condition for existence of constant scalar curvature Kähler metrics on compact Kähler manifolds. More precisely, we prove that coercivity of the Mabuchi functional implies uniform K-stability, generalizing results of T. Mabuchi, J. Stoppa, R. Berman, R. Dervan as well as S. Boucksom, T. Hisamoto and M. Jonsson for polarized manifolds. This gives a new and more general proof of one direction of the Yau-Tian-Donaldson conjecture in this setting. The other direction (sufficiency of K-stability) is considered to be one of the most important open problems in Kähler geometry. We finally give some partial results in the case of compact Kähler manifolds admitting non-trivial holomorphic vector fields, discuss some further perspectives and applications of the theory of K-stability for compact Kähler manifolds with transcendental cohomology class, and ask some questions related to stability loci in the Kähler cone.

Eglise et Etat, ont en commun le même domaine d’action : le cadre de la société nationale et internationale. Ils ont pour mission la promotion du bien commun intégral de l’homme, de donner sens à la vie et de créer les conditions de l’épanouissement de la sécurité humaine. Pourtant, les politiques ont toujours tendance à s’affranchir du regard du religieux, à se couper de la source transcendante dont les religions sont les dépositaires. Dans les faits, cette séparation du religieux et du politique crée des situations complexes et conflictuelles. Le ré-enchantement de la religion dans les démocraties laïques, est la signature des rapports complexes, mais nécessaires entre le religieux et le politique. Ainsi donc, la frontière entre le temporel et le spirituel reste difficilement définissable; les alliances et les mésalliances du religieux et du politique influencent énormément les problématiques de sécurité et de paix. Alors quelles contributions la religion, en occurrence l’Eglise catholique, peut-elle apporter à la problématique de la sécurité et de la paix? Le pontificat de Jean-Paul II a initié pour la défense des droits de la personne humaine et de sa dignité un projet d’action à l’échelle de la planète. Ces multiples voyages où les dimensions religieuse et politique se répondent et s’imbriquent, ses nombreuses lettres encycliques, ses homélies, ses allocutions devant les représentants des instances internationales et ses prises de positions osées et audacieuses sont caractéristiques de l’exception Jean-Paul II dans un monde en quête de paix et de sécurité. Avec lui, la catholicité de l’Eglise s’est exprimée au quotidien et a dévoilé le caractère spécifique de sa mission de service de l’humanité et du salut en Jésus-Christ. En revendiquant les droits de l’homme pour tous, le pape met l’accent sur une catégorie de droits à la fois la plus universelle et la plus vilipendée dans les systèmes politiques en occurrence dans le marxisme. Jean-Paul II est crédité de politique d’intervention tous azimuts et de présence extrêmement diversifiée. Loin de conclure à un éparpillement désordonné, sa pensée est unifiée et axée sur l’homme comme valeur centrale et primordiale et comme point de focalisation de toutes ses attentions. / Church and State have the same field of action in common: the national and international setting. Their mission is to promote the common wellbeing of mankind, to give meaning to life and to create the proper environment for the fulfillment of human safety. However, politicians have always had the tendency to relieve themselves from the religious point of view, and to turn their back on the transcendental source which the religions safe keep. In fact, this separation of the religious and of the political creates complex and conflicting situations. The re enchantment of religion in secular democracies is the signature of complex but necessary relationships between the religious and the political. Thus, the boundary between worldly and spiritual matters remains hard to define; alliances and misalliances of the religious and the political greatly influence the security and peace problematic. So what contributions can the religion, in this instance the catholic Church, bring to the security and peace problematic?John Paul II pontificate initiated a world scale project in favor of the defense of human rights and dignity. His several trips during which the religious and political dimensions echo each others, his numerous encyclical letters, his homilies, his allocutions in front of representatives of international instances and his bold and daring opinions are characteristic of John Paul II exception in a world longing for peace and security. With him, the catholicity of the Church expressed itself daily and unveiled the specific character of its mission to serve humanity as well as of salvation through Jesus-Christ. By claiming human rights for all, the pope stresses a category of rights altogether the most universal and the most vilified in political systems, in this case Marxism. John-Paul II is credited of all-out interventionist political actions and of extremely diverse presence. Far from inferring a disorganized scattering, his mind is unified and centered around man as the central and foremost value and as the focal point of all his attentions.