Au cours de cette thèse nous nous intéressons à des orthogonalités asymptotiques (au sens ou le produit scalaire dans le tore discret de taille N tend vers 0 lorsque N tend vers l’infini) entre certaines fonctions liées aux blocs des chiffres des entiers et la fonction de Möbius (ainsi qu’avec la fonction de von Mangoldt). Ces travaux prolongent ceux de Mauduit et Rivat et répondent partiellement à une question de Kalai posée en 2012. Au cours du Chapitre 1 nous établissons ces estimations asymptotiques dans le cas où la fonction étudiée est une fonction exponentielle d’une fonction qui compte les blocs de chiffres consécutifs ou espacés de taille k fixé dans l’écriture de n en base q. Nous donnons aussi une grande classe de polynômes agissant sur les blocs de chiffres qui nous fournissent un théorème des nombres premiers et une orthogonalité asymptotique avec la fonction de Möbius. Dans le Chapitre 2, nous obtenons un principe d’aléa de Möbius avec dans le cas où notre fonction est une fonction exponentielle d’une fonction qui compte les blocs de ‘1’ consécutifs dans l’écriture de n en base 2, où la taille du bloc est une application croissante tendant vers l’infini, mais avec une certaine restriction de croissance. Dans le cas extrémal, que nous ne pouvons pas traiter, ce problème est lié à l’estimation du nombre de nombres premiers dans la suite des nombres de Mersenne. Dans le Chapitre 3, nous donnons des estimations dans le cas où la fonction est l’exponentielle d’une fonction qui compte les blocs de k ‘1’ dans l’écriture de n en base 2 où k est grand par rapport à log N. Une conséquence du Chapitre 3 est que les résultats du Chapitre 1 sont quasi optimaux. / Throughout this thesis, we are interested in asymptotic orthogonality (in the sense that the scale product of the discrete torus of length N tends to zero as N tend to infinity) between some functions related to the blocks of digits of integers and the Möbius function (and also the von Mangoldt function). Our work extends previous results of Mauduit and Rivat, and gives a partial answer to a question posed by Kalai in 2012. Chapter 1 provides estimates in the case of the function is the exponential of a function taking values on the blocks (with and without wildcards) of length k (k fixed) in the digital expansion of n in base q. We also give a large class of polynomials acting on the digital blocks that allow to get a prime number theorem and asymptotic orthogonality with the Möbius function. In Chapter 2, we get an asymptotic formula in the case of our function is the exponential of the function which counts blocks of consecutive ‘1’s in the expansion of n in base 2, where the length of the block is an increasing function that tends (slowly) to infinity. In the extremal case, which we cannot handle, this problem is connected to estimating the number of primes in the sequences of Mersenne numbers. In Chapter 3, we provides estimates on the case of the function is the exponential of a function which count the blocks of k ‘1’s in the expansion of n in base 2 where k is large with respect to log N. A consequence of Chapter 3 is that the results of Chapter 1 are quasi-optimal.

Les travaux présentés dans cette Habilitation à Diriger des Recherches concernent la restitution des déformations volumiques du ventricule gauche du cœur au cours du temps. Les données sont des images échocardiographiques acquises pendant un seul cycle cardiaque avec un nouveau prototype de sonde ultrasonore, dont le capteur est mis en rotation rapide (jusqu'à 8 tours par seconde) à l'intérieur de la tête de la sonde. Ces recherches s'inscrivent dans la thématique scientifique des modèles dynamiques déformables de la discipline " Traitement du Signal et de l'Image ". Elles portent plus particuliè-rement sur les modélisations harmoniques multidimensionnelles. En 2D, les contours du ventricule sont modélisés pour restituer simplement des portions absentes (frontières virtuelles) ou déformées de ces contours, en fournissant des paramètres de forme directement interprétables et en nombre limité. En 3D, un volume du ventricule est reconstruit à partir de quelques contours en utilisant un modèle dont les paramètres sont les coefficients de Fourier basses fréquences de ces contours. En 4D, les déformations du ventricule sont obtenues pendant un cycle cardiaque en étendant le modèle précédent. L'ajustement des paramètres du modèle aux données (itératif, mais robuste et rapide) réalise une pseudo-interpolation circulaire de Shannon sur les données, même lorsque la répartition spatiale de celles-ci n'est pas uniforme ou qu'elle varie au cours du temps. Un protocole clinique, VG4D, a été développé pour valider l'ensemble des travaux. Il est utilisé dans les services de Cardiologie et de Médecine Nucléaire du Centre Hospitalier Régio¬nal d'Orléans et Universitaire de Tours. Les campagnes d'expérimentation menées ont montré l'intérêt de VG4D pour visualiser la contraction du ventricule au cours du temps.

Cette thèse a pour objet le développement d'outils de conception de machines polyphasées à pôles lisses alimentées par onduleur de tension à modulation de largeur d'impulsion. Basée sur la décomposition multimachine de la machine polyphasée en une somme de machines fictives magnétiquement découplées et mécaniquement couplées, l'approche adoptée consiste à étudier le problème de l'adaptation convertisseur-machine en reportant les objectifs sur les machines fictives. Une représentation matricielle du bobinage polyphasé, le développement d'un modèle de calcul analytique du champ et l'introduction de la Transformée de Fourier Discrète permettent d'associer aux machines fictives un bobinage et une couche d'aimants. Les objectifs et contraintes liés à la réduction des courants arasites et à l'amélioration de la qualité du couple peuvent alors être formulés directement sur des grandeurs fictives, ce qui permet de déduire des démarches de conception optimale.

Application aux calculs radiocristallographiques des algorithmes de transformation de Fourier rapide (Fast Fourier Transform (FFT)).

Cette thèse présente une étude des applications des groupes de réflexion finis aux problems liés aux réseaux bidimensionnels et aux polytopes tridimensionnels. Plusieurs familles de fonctions orbitales, appelées fonctions orbitales de Weyl, sont associées aux groupes de réflexion cristallographique. Les propriétés exceptionnelles de ces fonctions, telles que l’orthogonalité continue et discrète, permettent une analyse de type Fourier sur le domaine fondamental d’un groupe de Weyl affine correspondant. Dans cette considération, les fonctions d’orbite de Weyl constituent des outils efficaces pour les transformées discrètes de type Fourier correspondantes connues sous le nom de transformées de Fourier–Weyl. Cette recherche limite notre attention aux fonctions d’orbite de Weyl symétriques et antisymétriques à deux variables du groupe de réflexion cristallographique A2. L’objectif principal est de décomposer deux types de transformations de Fourier–Weyl du réseau de poids correspondant en transformées plus petites en utilisant la technique de division centrale. Pour les cas non cristallographiques, nous définissons les indices de degré pair et impair pour les orbites des groupes de réflexion non cristallographique avec une symétrie quintuple en utilisant un remplacement de représentation-orbite. De plus, nous formulons l’algorithme qui permet de déterminer les structures de polytopes imbriquées. Par ailleurs, compte tenu de la pertinence de la symétrie icosaédrique pour la description de diverses molécules sphériques et virus, nous étudions la brisure de symétrie des polytopes doubles de type non cristallographique et des structures tubulaires associées. De plus, nous appliquons une procédure de stellation à la famille des polytopes considérés. Puisque cette recherche se concentre en partie sur les fullerènes icosaédriques, nous présentons la construction des nanotubes de carbone correspondants. De plus, l’approche considérée pour les cas non cristallographiques est appliquée aux structures cristallographiques. Nous considérons un mécanisme de brisure de symétrie appliqué aux polytopes obtenus en utilisant les groupes Weyl tridimensionnels pour déterminer leurs extensions structurelles possibles en nanotubes. / This thesis presents a study of applications of finite reflection groups to the problems related to two-dimensional lattices and three-dimensional polytopes. Several families of orbit functions, known as Weyl orbit functions, are associated with the crystallographic reflection groups. The exceptional properties of these functions, such as continuous and discrete orthogonality, permit Fourier-like analysis on the fundamental domain of a corresponding affine Weyl group. In this consideration, Weyl orbit functions constitute efficient tools for corresponding Fourier-like discrete transforms known as Fourier–Weyl transforms. This research restricts our attention to the two-variable symmetric and antisymmetric Weyl orbit functions of the crystallographic reflection group A2. The main goal is to decompose two types of the corresponding weight lattice Fourier–Weyl transforms into smaller transforms using the central splitting technique. For the non-crystallographic cases, we define the even- and odd-degree indices for orbits of the non-crystallographic reflection groups with 5-fold symmetry by using a representation-orbit replacement. Besides, we formulate the algorithm that allows determining the structures of nested polytopes. Moreover, in light of the relevance of the icosahedral symmetry to the description of various spherical molecules and viruses, we study symmetry breaking of the dual polytopes of non-crystallographic type and related tube-like structures. As well, we apply a stellation procedure to the family of considered polytopes. Since this research partly focuses on the icosahedral fullerenes, we present the construction of the corresponding carbon nanotubes. Furthermore, the approach considered for the non-crystallographic cases is applied to crystallographic structures. We consider a symmetry-breaking mechanism applied to the polytopes obtained using the three-dimensional Weyl groups to determine their possible structural extensions into nanotubes.