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In this thesis, we present new superconvergence properties of discontinuous Galerkin (DG) methods for two-dimensional hyperbolic problems. We investigate the superconvergence properties of the DG method applied to scalar first-order hyperbolic partial differential equations on triangular meshes. We study the effect of finite element spaces on the superconvergence properties of DG solutions on three types of triangular elements. Superconvergence is described for structured and unstructured meshes. We show that the DG solution is O(hp+1) superconvergent at Legendre points on the outflow edge on triangles having one outflow edge using three p- degree polynomial spaces. For triangles having two outflow edges the finite element error is O(hp+1) superconvergent at the end points of the inflow edge for an augmented space of degree p. Furthermore, we discovered additional mesh-orientation dependent superconvergence points in the interior of triangles. The dependence of these points on orientation is explicitly given. We also established a global superconvergence result on meshes consisting of triangles having one inflow and one outflow edges. Applying a local error analysis, we construct simple, efficient and asymptotically correct a posteriori error estimates for discontinuous finite element solutions of hyperbolic problems on triangular meshes. A posteriori error estimates are needed to guide adaptive enrichment and to provide a measure of solution accuracy for any numerical method. We develop an inexpensive superconvergence-based a posteriori error estimation technique for the DG solutions of conservation laws. We explicitly write the basis functions for the error spaces corresponding to several finite element solution spaces. The leading term of the discretization error on each triangle is estimated by solving a local problem where no boundary conditions are needed. The computed error estimates are shown to converge to the true error under mesh refinement in smooth solution regions. We further present a numerical study of superconvergence properties for the DG method applied to time-dependent convection problems. We also construct asymptotically correct a posteriori error estimates by solving local hyperbolic problems with no boundary conditions on general unstructured meshes. The global superconvergence results are numerically confirmed. Finally, the a posteriori error estimates are tested on several linear and nonlinear problems to show their efficiency and accuracy under mesh refinement. / Ph. D.

Title: Correspondence Problem in Geometric Morphometrics Tasks Author: Václav Krajíček Department / Institute: Department of Software and Computer Science Education Supervisor of the doctoral thesis: RNDr. Josef Pelikán Supervisor's e-mail address: pepca@cgg.mff.cuni.cz Abstract: Shape analysis in physical anthropology, biomedicine, and related disci- plines is mostly done using landmarks or by measuring distances. New techno- logical advancements allow the digitization of object's appearance in the form of triangular meshes or volume images. These digital images are especially beneficial in the cases when landmarks cannot be used to effectively describe the shape. In order to statistically analyze shape in a sample of observations, which are represented by these modalities, correspondence has to be found. Registration is a crucial tool in mapping the shape representations into a common space where correspondence is found by nearest neighbor principle in the case of triangular meshes or by overlaps in the case of volume images. B- spline based non-rigid registration is chosen because of its versatility, relative speed and ability to handle both meshes and volume images. Experiments were also performed with other alternatives - Thin-plate splines and Coherent point drift. The algorithm was modified to handle...

Les dunes marines sont de grandes structures sédimentaires qui, ensemble, couvrent de larges zones appelées champs de dunes. Des dunes ont été découvertes dans tous les océans, de la côte jusqu'aux talus continentaux. Leur forme et mobilité sont des témoins du lien étroit qui existe entre le transport sédimentaire, l'hydrodynamique (courants marins) et la topographie du fond. L'étude des dunes est intéressante scientifiquement parlant, mais elle est également motivée par des enjeux économiques et environnementaux. Les dunes peuvent être étudiées de deux manières : La modélisation et l'analyse de données de terrain (granulométrie, courantométrie, données sismiques, données bathymétriques). Ces deux approches sont très différentes mais complémentaires. Avec l'amélioration des données Sondeur Multi-Faisceaux (SMF), il est maintenant possible de visualiser la morphologie des dunes et de suivre leur évolution de manière plus détaillée. Plusieurs méthodes automatiques d'analyse de la morphologie et de la dynamique des dunes ont été développées pour analyser les Modèles Numériques de Terrain (MNTs) construits à partir de ces données SMF. Pourtant, aucun ne permet d'estimer les valeurs de descripteurs morphologiques et dynamiques pour chaque dune. L'analyse et l'évaluation de ces descripteurs restent régionales avec le découpage des MNTs en régions rectangulaires. Seul un traitement manuel permet d'estimer ces descripteurs pour chaque dune. L'objectif de cette thèse est de développer des algorithmes automatiques permettant de quanti er la morphologie et la dynamique de chaque dune. Pour ce faire, une représentation des données SMF sous forme d'une tessellation triangulaire a été préférée au classique MNT régulier. Tout d'abord, les dunes doivent être extraites de la topographie du fond marin. Un algorithme par accroissement de régions avec adaptation de l'échelle d'analyse, issu de la géomorphométrie est proposé. Les crêtes de dunes sont d'abord extraites en combinant un algorithme de simplification de tessellations avec un algorithme d'extraction de lignes de crête. La résolution de la tessellation est adaptée par l'algorithme de simplification afin de faciliter l'extraction des lignes de crête. Les lignes de crête sont des objets bien définis en géométrie différentielle. Leur extraction s'appuie sur l'interprétation de cette définition appliquée à des modèles discrets du fond (tessellations). Les crêtes servent d'embryons à l'algorithme d'extraction des dunes. L'estimation des paramètres morphologiques des dunes (longueur, largeur, hauteur, etc.) découle de l'extraction automatique des dunes. L'utilisation d'une méthode de recalage non rigide (isométrique) pour la quantification de la dynamique est discutée. Des tessellations représentant la topographie d'un même champ de dunes à différents moments sont analysées par l'algorithme d'extraction des dunes. Ensuite, une dune est associée à une dune d'une autre tessellation qui lui correspond (même dune à un autre instant). La dynamique de chaque dune est quantifiée à partir des résultats de l'algorithme de recalage : les transformations permettant d'aligner différentes représentations d'une dune. / Marine dunes are large sedimentary mounds often organized in dunefields. Theyhave been discovered in oceans all around the globe, from continental rises to nearshore areas. These mobile seafloor structures reflect the unique and complex relationship between the sediment, the seafloor topography and the hydrodynamics (currents). Dunes are not only interesting at a scientific level. In fact, their study is also motivated by economic, safety and environmental reasons. The study of dunes can be divided into two complementary approaches: Modelling and analysis of in situ data (granulometry, current, bathymetric data).The increased quality of MultiBeam EchoSounder (MBES) data allows scientists to monitor and visualize the complexity of, both, dune morphology and dynamics. Au-tomatic methods to characterize dune morphology and dynamics using Digital TerrainModels (DTMs) have already been proposed. But, none does it at the dune scale. Mor-phological and dynamical descriptors are estimated for patches of the dunefield. Today, the evaluation of such descriptors for each dune can only be achieved manually.The objective of this thesis is to design automatic algorithms for the quantification of dune morphology and dynamics. A representation of MBES data as triangular meshes has been preferred to the usual gridded DTMs. The first stage consists of delineating dunes in the seafloor. A scale adaptative, region growing algorithm based on geomorphometry is proposed. The combination of mesh implification and crest extraction algorithms enables to accurately recover dune crest lines. The mesh simplification facilitates the crest extraction by adapting the mesh resolution. Crest extraction is based on the discrete interpretation of the definition of crest lines in differential geometry. The crests are, then, used as seed regions by the dune extraction algorithm.