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Estudamos a Eletrodinâmica de Wheeler-Feynman usando um princípio variacional para um funcional de ação finito acoplado a um problema de valor na fronteira. Para trajetórias C2 por trechos, a condição de ponto crítico desse funcional fornece as equações de movimento de Wheeler-Feynman mais uma condição de continuidade dos momentos parciais e energias parciais, conhecida como condição de quina de Weierstrass-Erdmann. Estudamos em detalhe um sub-caso mais simples, onde os dados de fronteira têm um comprimento mínimo. Nesse caso, mostramos que a condição de extremo se reduz a um problema de valor na chegada para uma equação diferencial com retardo misto dependente do estado e do tipo neutro. Resolvemos numericamente esse problema usando um método de shooting e um método de Runge-Kutta de quarta ordem. Para os casos em que as fronteiras mínimas têm velocidades descontínuas, elaboramos uma técnica para resolver as condições de quina de Weierstrass-Erdmann junto com o problema de valor na chegada. As trajetórias com velocidades descontínuas previstas pelo método variacional foram verificadas por experimentos numéricos. Em um segundo desenvolvimento, para o caso mais difícil de fronteiras de comprimento arbitrário, implementamos um método de minimização com gradiente fraco para o princípio variacional e problema de fronteira acima citado. Elaboramos dois métodos numéricos, ambos implementados em MATLAB, para encontrar soluções do problema eletromagnético de dois corpos. O primeiro combina o método de elementos finitos com o método de Newton para encontrar as soluções que anulam o gradiente fraco do funcional para fronteiras genéricas. O segundo usa o método do declive máximo para encontrar as soluções que minimizam a ação. Nesses dois métodos as trajetórias são aproximadas dentro de um espaço de dimensão finita gerado por uma Galerkiana que suporta velocidades descontínuas. Foram realizados diversos testes e experimentos numéricos para verificar a convergência das trajetórias calculada numericamente; também comparamos os valores do funcional calculados numericamente com alguns resultados analíticos sobre órbitas circulares. / We study the Wheeler-Feynman electrodynamics using a variational principle for an action functional coupled to a finite boundary value problem. For piecewise C2 trajectories, the critical point condition for this functional gives the Wheeler-Feynman equations of motion in addition to a continuity condition of partial moments and partial energies, known as the Weierstrass-Erdmann corner conditions. In the simplest case, for the boundary value problem of shortest length, we show that the critical point condition reduces to a two-point boundary value problem for a state-dependent mixed-type neutral differential-delay equation. We solve this special problem numerically using a shooting method and a fourth order Runge-Kutta. For the cases where the boundary segment has discontinuous velocities we developed a technique to solve the Weierstrass-Erdmann corner conditions and the two-point boundary value problem together. The trajectories with discontinuous velocities presupposed by the variational method were verified by numerical experiments. In a second development, for the harder case with boundaries of arbitrary length, we implemented a method of minimization with weak gradient for the variational principle quoted above. Two numerical methods were implemented in MATLAB to find solutions of the two-body electromagnetic problem. The first combines the finite element method with Newtons method to find the solutions that vanish the weak gradient. The second uses the method of steepest descent to find the solutions that minimize the action. In both methods the trajectories are approximated within a finite-dimensional space generated by a Galerkian that supports discontinuous velocities. Many tests and numerical experiments were performed to verify the convergence of the numerically calculated trajectories; also were compared the values of the functional computed numerically with some known analytical results on circular orbits.

O uso contínuo de combustíveis fósseis já se mostrou deletério há anos, além de ser um meio energético finito. Por este motivo, a demanda atual e futura por sistemas de energia limpa é grande. Muito embora já existam diversas estruturas dedicadas a extrair energia do mar, o conceito em que se pretende trabalhar é inovador e de tecnologia nacional. Este tema foi desenvolvido inicialmente em uma abordagem teórica pelo então aluno de engenharia naval Daniel Prata Vieira e sua colega Ana Luísa Orsolini, como Trabalho Final do curso de Engenharia Naval e Oceânica da Escola Politécnica da USP, orientados pelo Prof. Dr. André Luis Condino Fujarra. Vieira & Orsolini (2011) [1] abordaram de uma forma diferente o tema de geração de energia por ondas do mar, trazendo à tona o uso da já consagrada plataforma monocoluna - protótipo que rendeu diversos prêmios de inventor do ano da Petrobrás, além de patente, ao Tanque de Provas Numérico, laboratório do departamento de engenharia naval da POLI-USP. O trabalho dos alunos Daniel e Ana também foi reconhecido nacionalmente recebendo o Prêmio Petrobras de Tecnologia 2011 no tema de Tecnologia de Energia. A continuação do trabalho consiste em levar a fundo alguns pontos importantes relacionados ao dimensionamento da plataforma para otimizar a geração de energia através do movimento relativo entre ela e um corpo flutuante interno ao seu moonpool. O objetivo do trabalho é definir melhores geometrias através da parametrização das dimensões principais e da utilização de métodos numéricos num estudo mais detalhado e aprofundado. O método de desenvolvimento leva em conta todos os fatores que influenciam na dinâmica do sistema como a hidrodinâmica de dois corpos (plataforma e corpo interno flutuante) e a dinâmica do gerador de energia (tipo de gerador e seu impacto no amortecimento do sistema global). / The continued use of fossil fuels has proved harmful for years, besides being a means finite energy. For this reason, the current and future demand for clean energy systems are great. Although there are already several structures dedicated to extracting energy from the sea, the concept on which it intends to work is innovative and with local technology. This theme has been already developed in a theoretical approach by the student of naval engineering Daniel Prata Vieira and his classmate Ana Luisa Orsolini, such as Final Paper Course of Naval Architecture and Ocean Engineering from the Escola Politécnica of USP, directed by Prof. Dr. André Luis Condino Fujarra. Vieira \\& Orsolini (2010) [1] studied in a different way the theme of energy generation from ocean waves, bringing up the use of already established monocolumn platform - prototype that earned several inventor of the year from Petrobras awards, besides patent, to the Numerical Offshore Tank, laboratory of the Naval Engineering Department of Poli - USP. The work of students Daniel and Ana was also recognized nationally getting the Petrobras Technology Award 2011 in the Energy Technology theme. The continuation of this work is to bring the background some important points related to platform design to optimize power generation through the relative motion between it and an internal floating body into moonpool. The objective is to define best geometries through the parameterization of the key dimensions and the use of numerical methods in a more detailed and in-depth study. The development method takes into account all the factors that influence the dynamics of the system such as the hydrodynamics of two bodies (platform and floating internal body) and the dynamics of the generator (type of generator and its impact on the damping of the global system).

O uso contínuo de combustíveis fósseis já se mostrou deletério há anos, além de ser um meio energético finito. Por este motivo, a demanda atual e futura por sistemas de energia limpa é grande. Muito embora já existam diversas estruturas dedicadas a extrair energia do mar, o conceito em que se pretende trabalhar é inovador e de tecnologia nacional. Este tema foi desenvolvido inicialmente em uma abordagem teórica pelo então aluno de engenharia naval Daniel Prata Vieira e sua colega Ana Luísa Orsolini, como Trabalho Final do curso de Engenharia Naval e Oceânica da Escola Politécnica da USP, orientados pelo Prof. Dr. André Luis Condino Fujarra. Vieira & Orsolini (2011) [1] abordaram de uma forma diferente o tema de geração de energia por ondas do mar, trazendo à tona o uso da já consagrada plataforma monocoluna - protótipo que rendeu diversos prêmios de inventor do ano da Petrobrás, além de patente, ao Tanque de Provas Numérico, laboratório do departamento de engenharia naval da POLI-USP. O trabalho dos alunos Daniel e Ana também foi reconhecido nacionalmente recebendo o Prêmio Petrobras de Tecnologia 2011 no tema de Tecnologia de Energia. A continuação do trabalho consiste em levar a fundo alguns pontos importantes relacionados ao dimensionamento da plataforma para otimizar a geração de energia através do movimento relativo entre ela e um corpo flutuante interno ao seu moonpool. O objetivo do trabalho é definir melhores geometrias através da parametrização das dimensões principais e da utilização de métodos numéricos num estudo mais detalhado e aprofundado. O método de desenvolvimento leva em conta todos os fatores que influenciam na dinâmica do sistema como a hidrodinâmica de dois corpos (plataforma e corpo interno flutuante) e a dinâmica do gerador de energia (tipo de gerador e seu impacto no amortecimento do sistema global). / The continued use of fossil fuels has proved harmful for years, besides being a means finite energy. For this reason, the current and future demand for clean energy systems are great. Although there are already several structures dedicated to extracting energy from the sea, the concept on which it intends to work is innovative and with local technology. This theme has been already developed in a theoretical approach by the student of naval engineering Daniel Prata Vieira and his classmate Ana Luisa Orsolini, such as Final Paper Course of Naval Architecture and Ocean Engineering from the Escola Politécnica of USP, directed by Prof. Dr. André Luis Condino Fujarra. Vieira \\& Orsolini (2010) [1] studied in a different way the theme of energy generation from ocean waves, bringing up the use of already established monocolumn platform - prototype that earned several inventor of the year from Petrobras awards, besides patent, to the Numerical Offshore Tank, laboratory of the Naval Engineering Department of Poli - USP. The work of students Daniel and Ana was also recognized nationally getting the Petrobras Technology Award 2011 in the Energy Technology theme. The continuation of this work is to bring the background some important points related to platform design to optimize power generation through the relative motion between it and an internal floating body into moonpool. The objective is to define best geometries through the parameterization of the key dimensions and the use of numerical methods in a more detailed and in-depth study. The development method takes into account all the factors that influence the dynamics of the system such as the hydrodynamics of two bodies (platform and floating internal body) and the dynamics of the generator (type of generator and its impact on the damping of the global system).

Estudamos a Eletrodinâmica de Wheeler-Feynman usando um princípio variacional para um funcional de ação finito acoplado a um problema de valor na fronteira. Para trajetórias C2 por trechos, a condição de ponto crítico desse funcional fornece as equações de movimento de Wheeler-Feynman mais uma condição de continuidade dos momentos parciais e energias parciais, conhecida como condição de quina de Weierstrass-Erdmann. Estudamos em detalhe um sub-caso mais simples, onde os dados de fronteira têm um comprimento mínimo. Nesse caso, mostramos que a condição de extremo se reduz a um problema de valor na chegada para uma equação diferencial com retardo misto dependente do estado e do tipo neutro. Resolvemos numericamente esse problema usando um método de shooting e um método de Runge-Kutta de quarta ordem. Para os casos em que as fronteiras mínimas têm velocidades descontínuas, elaboramos uma técnica para resolver as condições de quina de Weierstrass-Erdmann junto com o problema de valor na chegada. As trajetórias com velocidades descontínuas previstas pelo método variacional foram verificadas por experimentos numéricos. Em um segundo desenvolvimento, para o caso mais difícil de fronteiras de comprimento arbitrário, implementamos um método de minimização com gradiente fraco para o princípio variacional e problema de fronteira acima citado. Elaboramos dois métodos numéricos, ambos implementados em MATLAB, para encontrar soluções do problema eletromagnético de dois corpos. O primeiro combina o método de elementos finitos com o método de Newton para encontrar as soluções que anulam o gradiente fraco do funcional para fronteiras genéricas. O segundo usa o método do declive máximo para encontrar as soluções que minimizam a ação. Nesses dois métodos as trajetórias são aproximadas dentro de um espaço de dimensão finita gerado por uma Galerkiana que suporta velocidades descontínuas. Foram realizados diversos testes e experimentos numéricos para verificar a convergência das trajetórias calculada numericamente; também comparamos os valores do funcional calculados numericamente com alguns resultados analíticos sobre órbitas circulares. / We study the Wheeler-Feynman electrodynamics using a variational principle for an action functional coupled to a finite boundary value problem. For piecewise C2 trajectories, the critical point condition for this functional gives the Wheeler-Feynman equations of motion in addition to a continuity condition of partial moments and partial energies, known as the Weierstrass-Erdmann corner conditions. In the simplest case, for the boundary value problem of shortest length, we show that the critical point condition reduces to a two-point boundary value problem for a state-dependent mixed-type neutral differential-delay equation. We solve this special problem numerically using a shooting method and a fourth order Runge-Kutta. For the cases where the boundary segment has discontinuous velocities we developed a technique to solve the Weierstrass-Erdmann corner conditions and the two-point boundary value problem together. The trajectories with discontinuous velocities presupposed by the variational method were verified by numerical experiments. In a second development, for the harder case with boundaries of arbitrary length, we implemented a method of minimization with weak gradient for the variational principle quoted above. Two numerical methods were implemented in MATLAB to find solutions of the two-body electromagnetic problem. The first combines the finite element method with Newtons method to find the solutions that vanish the weak gradient. The second uses the method of steepest descent to find the solutions that minimize the action. In both methods the trajectories are approximated within a finite-dimensional space generated by a Galerkian that supports discontinuous velocities. Many tests and numerical experiments were performed to verify the convergence of the numerically calculated trajectories; also were compared the values of the functional computed numerically with some known analytical results on circular orbits.