Zugl.: Karlsruhe, Universiẗat, Diss., 2004.

Zugl.: Stuttgart, Univ., Diss.

Zugl.: Stuttgart, Universiẗat, Diss., 2008.

Zugl.: Bremen, Universiẗat, Diss., 2007.

Zugl.: Wuppertal, Univ., Diss., 2008

Brandenburgische Techn. Universiẗat, Diss., 2005--Cottbus.

Stuttgart, Univ., Diss., 2006. / Druckausg. beim VDI-Verl., Düsseldorf als: Fortschrittberichte / VDI : Reihe 8 ; Nr. 1125 erschienen.

Zugl.: Clausthal, Techn. Univ., Diss., 2009

In dieser Arbeit wird eine detaillierte Analysis des konsistenten kinetischen Modells zum Kornwachstum von Fradkov durchgeführt. Dieses Modell beschreibt - basierend auf dem von Neumann--Mullins Gesetz - die Flächenänderung eines Korns abhängig von seiner Topologieklasse, d.h. der Anzahl der Kanten. Topologieänderungen werden durch Kopplungsterme zwischen den Gleichungen für die Anzahldichten der verschiedenen Topologieklassen beschrieben. Daraus resultiert ein unendlich-dimensionales System von Transportgleichungen mit tridiagonaler Kopplungsstruktur. Durch eine spezielle Wahl des Kopplungsgewichts, welche die Gleichungen nichtlinear und räumlich nichtlokal macht, wird das Modell konsistent. Nach einer Einführung wird das Modell von Fradkov im zweiten Kapitel hergeleitet; formale Rechnungen zeigen die Konsistenz des Modells auf. Im dritten Kapitel wird das Kopplungsgewicht a priori beschränkt. Dadurch kann im ersten Teil des vierten Kapitels Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen für endlich-dimensionale Systeme gezeigt werden. Weitere Schranken an die Anzahldichten im fünften Kapitel ermöglichen den Grenzübergang hinsichtlich der Anzahl der Gleichungen im zweiten Teil des vierten Kapitels. Die Existenz von Lösungen des unendlich-dimensionalen Systems wird somit über eine geeignete Approximation gezeigt. Energiemethoden liefern Eindeutigkeit und stetige Abhängigkeit von den Daten. Im sechsten Kapitel wird das Langzeitverhalten untersucht. Besonderes Augenmerk liegt dabei auf stationären Lösungen eines reskalierten Systems als Kandidaten für selbstähnliche Lösungen. Abschließend wird das Lewis''sche Gesetz asymptotisch verifiziert. / The subject matter of this thesis is a detailed analysis of the self--consistent kinetic model for grain growth introduced by Fradkov. The model is based on the von Neumann--Mullins law describing the change of area of grains according to their topological class, i.e. the number of edges they have. Topological events are performed by coupling terms between equations for the number densities of different topological classes. The resulting system of transport equations is infinite-dimensional with a tridiagonal coupling structure. Self-consistency of this kinetic model is achieved by introducing a coupling''s weight making the equations nonlinear and nonlocal in space. We start with an introduction in the first chapter. Afterwards in the second chapter we derive Fradkov''s model and carry out formal calculations to illustrate self-consistency. In the third chapter we present a priori calculations mainly allowing us to bound the nonlinearity. This enables us to prove existence and uniqueness of solutions to finite-dimensional systems in the first part of the fourth chapter. Further bounds on the number densities established in the fifth chapter allow for passing to the limit concerning the number of equations in the second part of the fourth chapter. Therefore we prove existence of solutions to the infinite-dimensional system by a suitable approximation procedure. Uniqueness and continuous dependence on the data is then provided by energy methods. The sixth chapter focusses on long-time behaviour and mainly on stationary solutions of a rescaled system as candidates for self-similar solutions. Finally we prove Lewis'' law asymptotically.

Untersucht wird das Cauchy Problem für degenerierte $p$-Evolutionsgleichungen. Dabei kann für Gleichungen höherer Ordnung in $D_t$, die nur von der Zeit abhängen, gezeigt werden, dass das Problem $H^\\infinity$ korrekt ist. Dafür werden gewisse Bedingungen an die Koeffizienten und deren erste Ableitungen gestellt. $H^\\infinity$ korrekt bedeutet dabei, dass die Anfangsdaten $u_0\\in H^s$, $u_1$ in einem dazugehörigen Sobolevraum und die Lösung bezüglich $x$ in $H^{s-s_0}$ liegen. Eine Notwendigkeit für die Bedingungen kann allerdings nicht gezeigt werden. Auch ist offen, ob der Regularitätsverlust wirklich eintritt. Später wird der Beweis erweitert um das Ergebniss für Koeffizienten zu zeigen, die in gewisser Weise auch vom Ort abhängen können. Im zweiten Teil der Dissertation geht es um Korrektheit für degenerierte $p$-Evolutionsgleichungen mit zeitabhängigen Koeffizienten und zweiter Ordnung in $D_t$. Gefordert werden Bedingungen an die Koeffizienten und die ersten beiden Ableitungen bezüglich der Zeit. Damit wird gezeigt, dass diese in Skalen von Sobolevräumen korrekt gestellt sind. Abschließend wird die Schärfe der Bedingungen und das tatsächliche Auftreten des Regularitätsverlustes in der Lösung bewiesen.