Dans ce travail nous nous intéressons aux groupes cristallographiques, i.e. aux sous-groupes du groupe des transformations affines qui agissent proprement discontinûment et de façon cocompacte sur l’espace affine. Ce sont les groupes fondamentaux des variétés affines compactes et complètes. Nous classifions les groupes cristallographiques dont la partie linéaire préserve une forme hermitienne de signature (n,1). Grunewald et Margulis ont prouvé que ces groupes cristallographiques sont virtuellement résolubles (la conjecture d’Auslander affirme que c’est toujours le cas). Notre classification est effectuée pour n ≤ 3. Elle correspond à la classification, à revêtement fini près, des variétés Hermite-Lorentz plates, compactes et complètes en dimension complexe inférieure ou égale à4. Ce travail est inspiré par ceux menés par Bieberbach, puis Fried, et enfin Grunewald et Margulis sur les groupes cristallographiques dont la partie linéaire préserve une forme quadratique définie positive ou lorentzienne. En effectuant cette classification, nous avons été amené à étudier certains familles d’algèbres de Lie nilpotentes de dimension 8. Nous avons ensuite étendu cette classification à celle de toutes les algèbres de Lie 3-nilpotentes de dimension 8 ayant l’algèbre de Lie libre 3-nilpotente à 3générateurs pour quotient. Ce résultat peut être vu comme un pas dans la direction d’une classification des algèbres de Lie nilpotentes de dimension 8. Ensuite nous nous sommes demandé lesquelles de ces algèbres admettent une métrique pseudo-riemannienne plate et nous avons donné une réponse partielle. / In this work we deal with crystallographic groups, i.e. the subgroups of the group of affine transformations that act properly discontinuously and cocompactly on affine space. In otherwords they are the fundamental groups of compact and complete affine manifolds. In this thesis we classify such groups with the additional hypothesis that the linear part preserves a Hermitian form of signature (n,1). Grunewald and Margulis proved that such crystallographic groups are virtually solvable (the Auslander conjecture states that this is always true). Our classification is for n ≤ 3. It corresponds to a classification, up to finite covering, and for complex dimension at most 4, of flat compact complete Hermite-Lorentz manifolds. This is inspired by the works done by Bieberbach,then Fried, and finally Grunewald and Margulis who classified crystallographic groups whose line arpart preserves a positive definite or Lorentzian quadratic form. Making this classification we had to classify a family of 8-dimensional nilpotent Lie algebras. We then extended this classification toall the 8-dimensional 3-step nilpotent Lie algebras having the free 2-step nilpotent Lie algebra on 3generators as quotient. This result can be seen as a step in the direction of a general classification of nilpotent Lie algebras of dimension 8. We then wondered which of these Lie algebras admit flat pseudo-Riemannian metrics and gave a partial answer to this question.

La thèse se compose de deux parties. La première partie est consacrée aux transformations des algèbres de dimension finie. Il est facile de voir que le groupe d'automorphismes d'une algèbre de dimension finie est un groupe algébrique affine. N.L. Gordeev et V.L. Popov ont démontré que n'importe quel groupe algébrique affine est isomorphe au groupe d'automorphismes de l'algèbre de dimension finie. Utilisant l'approche similaire nous démontrons que tout monoïde affine peut être obtenue comme un monoïde des endomorphismes d'une algèbre de dimension finie. Ensuite, nous étudions la solvabilité des groupes d'automorphismes d'algèbres commutatives de dimension finie. Nous introduisons un critère de leur solvabilité et l'appliquons aux intersections complètes et aux singularités isolées d'hypersurfaces. Nous étudions également les cas extrêmes du critère introduit. La deuxième partie de la thèse est consacrée à la transitivité infinie de groupes d'automorphismes spéciales de variétés affines et quasi-affines. Cette propriété est équivalente à la flexibilité pour les variétés affines. Tout d'abord, nous montrons l'équivalence entre la transitivité et la transitivité infinie des groupes d'automorphismes spéciaux sur un corps algébriquement clos de caractéristique arbitraire. Nous fournissons ensuite le critère de la flexibilité pour les cônes affines sur les variétés projectives et nous l'appliquons aux surfaces del Pezzo de degré 4 et 5. Enfin, nous étudions la flexibilité des torseurs universels sur les variétés couvertes par des espaces affines et fournissons une large gamme de familles de variétés flexibles. / The thesis consists of two parts. The first part is dedicated to transformations of finite-dimensional algebras. It is easy to see that the automorphism group of a finite-dimensional algebra is an affine algebraic group. N.L.~Gordeev and V.L.~Popov proved that any affine algebraic group is isomorphic to the automorphism group of some finite-dimensional algebra. We use a similar approach to prove that any affine algebraic monoid can be obtained as the endomorphisms' monoid of a finite-dimensional algebra. Next, we study the solvability of automorphism groups of commutative Artin algebras. We introduce a criterion of their solvability and apply it to complete intersections and to isolated hypersurface singularities. We also study extremal cases of the introduced criterion. The second part of the thesis is dedicated to the infinite transitivity of special automorphism groups of affine and quasiaffine varieties. This property is equivalent to the flexibility for affine varieties. Firstly, we prove the equivalence of transitivity and infinite transitivity of special automorphism groups over algebraically closed field of arbitrary characteristic. Then we provide the criterion of flexibility for affine cones over projective varieties and apply it to del Pezzo surfaces of degree 4 and 5. Finally, we study flexibility of universal torsors over varieties covered by affine spaces and provide a wide range of families of flexible varieties.

Une T-variété est une variété algébrique munie d'une action effective d'un tore algébrique T. Cette thèse est consacrée à l'étude de deux aspects des T-variétés normales affines : les actions du groupe additif et la caractérisation des singularités. Soit X = Spec A une T-variété affine normale et soit D une dérivation homogène localement nilpotente de l'algèbre affine intègre Z^n-graduée A, alors D engendre une action du groupe additif dans X. On donne une classification complète des couples (X, D) dans trois cas : pour les variétés toriques, dans le cas de complexité un, et dans le cas où D est de type fibre. Comme application, on calcule l'invariant de Makar-Limanov (ML) homogène de ces variétés. On en déduit que toute variété d'invariant de ML trivial est birationnelle à Y × P^2 , pour une certaine variété Y . Inversement, pour toute variété Y , il existe une T-variété affine X d'invariant de ML trivial birationnelle a Y × P2. Dans la seconde partie concernant les singularités d'une T-variété X, on calcule les images directes supérieures du faisceau structural d'une désingularisation de X. Comme conséquence, on donne un critère pour qu'une T-variété ait des singularités rationnelles. On présente aussi une condition pour qu'une T-variété soit de Cohen-Macaulay. Comme application, on caractérise les singularités elliptiques des surfaces quasi-homogènes.

Pour tout entier naturel impair d, on construit un domaine fondamental pour l'action sur l'espace affine de dimension 2d+1 de certains groupes de transformations affines libres non abéliens, discrets, agissant proprement et de partie linéaire Zariski-dense dans SO(d+1, d). Pour tout groupe de Lie semisimple réel non compact G, on construit ensuite un groupe de transformations affines de son algèbre de Lie g qui est libre non abélien, discret, agit proprement sur g et a sa partie linéaire Zariski-dense dans Ad G. Enfin, on donne quelques résultats sur le comportement local des fonctions harmoniques sur le triangle de Sierpinski, plus précisément de leur restriction à un bord du triangle. / For every odd positive integer d, we construct a fundamental domain for the action on the 2d+1-dimensional space of certain groups of affine transformations which are free, nonabelian, act properly discontinuously and have linear part Zariski-dense in SO(d+1,d). Next for every semisimple noncompact real Lie group G, we construct a group of affine transformations of its Lie algebra g which is free, nonabelian, acts properly discontinuously and has linear part Zariski-dense in Ad G. Finally, we give some results about the local behavior of harmonic functions on the Sierpinski triangle restricted to a side of the triangle.