On dit qu'une variété est feuilletée lorsqu'il existe une partition de celle-ci en sous-variétés immergées. La théorie des feuilletages a des applications très profondes dans divers champs des Mathématiques et de la Physique, et il semble d'autant plus intéressant de pouvoir analyser le feuilletage à partir de ce qui semble être une donnée plus fondamentale : sa distribution de champs de vecteurs associée. C'est ainsi que nous avons observé que si le feuilletage est résolu par un fibré gradué, on peut relever le crochet de Lie des champs de vecteurs en une structure de Lie infini-algébroide sur ce fibré. D'autre part, cette structure est universelle dans le sens où toute autre résolution du feuilletage sera isomorphe à celle-ci dans un sens L_infini, mais seulement à homotopie près. Lorsqu'on se limite à l'étude au dessus d'un point, on observe que la cohomologie associée à la résolution devient potentiellement non triviale. La structure de Lie infini-algébroide universelle se réduit alors à une algèbre de Lie graduée sur cette cohomologie. Cette structure algébrique peut être transportée (non canoniquement) tout le long de la feuille, transformant la cohomologie au dessus d'une feuille en algébroide de Lie gradué. Cela nous permet de retrouver des résultats déjà connus par ailleurs et de déduire des avancées prometteuses / A smooth manifold is said to be foliated when it is partitioned into immersed submanifolds. Foliation Theory has profound applications in various fields of Mathematics and Physics, and it seems much more interesting to analyze the foliation from what seems to be a more fundamental point of view: its associated distribution of vector fields. Thus we have noticed that if the foliation is resolved by a graded fiber bundle, one can lift the Lie bracket of vector fields into a Lie infinity-algebroid structure on this fiber bundle. Moreover, this structure is universal in the sense that any other resolution of the foliation is isomorphic to it in the L_infinity setup, but only up to homotopy. When one restricts the analysis over a point, we observe that the cohomology associated to the resolution may become non trivial. The universal Lie infinity-algebroid structure hence reduces to a graded Lie algebra structure on this cohomology. This algebraic structure can be carried (non canonically) along the leaf, providing the cohomology over a leaf with a graded Lie algebroid structure. This enables us to retrieve former well-known results, as well as promising advances

Nous nous intéressons, dans ce travail, aux chaînes ouvertes de corps élastiques, animés de grands mouvements rigides. Nous considérons deux types de problèmes : problème direct où on recherche les déplacements de la chaîne à chargement connu, problème inverse où la donnée est une position ou une trajectoire de l'extrémité terminale de la chaîne et où on recherche le chargement à imposer pour obtenir cette position ou cette trajectoire. Nous supposons que les corps de la chaîne sont bien modélisés par des poutres élastiques et nous étudions deux types de modélisations: une modélisation linéaire (approche convective) où les petits déplacements élastiques sont mesurés par rapport à un repère flottant qui suit les mouvements rigides des poutres de la chaîne et une modélisation non-linéaire (approche globale) où Ton n'effectue pas, au niveau de la formulation mécanique, de découplage entre déplacement élastique et déplacement rigide. Notre travail comporte la formulation mécanique et l'étude mathématique du problème direct dans les cas statiques et dynamiques, ce dans le cadre de l'approche convective et de l'approche globale, ainsi que l'étude mathématique d'un problème inverse dynamique simplifié. Nous avons en outre réalisé un traitement numérique simple et efficace du problème direct, ce dans le cas statique pour l'approche convective et dans les cas statiques et dynamiques pour l'approche globale.