[pt] A geometria diferencial descreve de maneira intuitiva os
objetos suaves no
espaço. Porém, com a evolução da modelagem geométrica por
computador,
essa ferramenta se tornou ao mesmo tempo necessária e
difícil de se
descrever no mundo discreto. A teoria de Morse ficou
importante pela
ligação que ela cria entre a topologia e a geometria
diferenciais. Partindo
de um ponto de vista mais combinatório, a teoria de Morse
discreta de
Forman liga de forma rigorosa os objetos discretos à
topologia deles, abrindo
essa teoria para estruturas discretas. Este trabalho
propõe uma definição
construtiva de funções de Morse geométricas no mundo
discreto e do
complexo de Morse-Smale correspondente, onde a geometria é
definida como
a amostragem de uma função suave nos vértices da estrutura
discreta. Essa
construção precisa de cálculos de homologia que se
tornaram por si só uma
melhoria significativa dos métodos existentes. A
decomposição de Morse-
Smale resultante pode ser eficientemente computada e usada
para aplicações
de cálculo da persistência, geração de grafos de Reeb,
remoção de ruído e
mais. . . / [en] Differential geometry provides an intuitive way of
understanding smooth
objects in the space. However, with the evolution of
geometric modeling
by computer, this tool became both necessary and difficult
to transpose to
the discrete setting. The power of Morse theory relies on
the link it created
between differential topology and geometry. Starting from a
combinatorial
point of view, Forman´s discrete Morse theory relates
rigorously discrete
objects to their topology, opening Morse theory to discrete
structures.
This work proposes a constructive definition of geometric
discrete Morse
functions and their corresponding discrete Morse-Smale
complexes, where
the geometry is defined as a smooth function sampled on the
vertices of the
discrete structure. This construction required some
homology computations
that turned out to be a significant improvement over
existing methods
by itself. The resulting Morse-Smale decomposition can then
be efficiently
computed, and used for applications to persistence
computation, Reeb graph
generation, noise removal. . .
| Identifer | oai:union.ndltd.org:puc-rio.br/oai:MAXWELL.puc-rio.br:7353 |
| Date | 26 October 2005 |
| Creators | THOMAS LEWINER |
| Contributors | HELIO CORTES VIEIRA LOPES |
| Publisher | MAXWELL |
| Source Sets | PUC Rio |
| Language | Portuguese |
| Detected Language | English |
| Type | TEXTO |
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