Die vorliegende Dissertation widmet sich der theoretischen Untersuchung zweier neuer Algorithmen für Clustering und Community Detection: AWC (Adaptive Weights Clustering) und AWCD (Adaptive Weights Community Detection). Ein zentraler Aspekt sind dabei die Raten der Konsistenz. Bei der Betrachtung von AWC steht die Tiefe Lücke
zwischen den Clustern, also die relative Differenz der jeweiligen Dichten, im Vordergrund. Bis auf logarithmische Faktoren ist die erreichte Konsistenzrate optimal. Dies erweitert die niedrigdimensionalen Ergebnisse von Efimov, Adamyan and Spokoiny (2019) auf das Mannigfaltigkeitenmodell und berücksichtigt darüber hinaus viel allgemeinere Bedingungen an die zugrunde liegende Dichte und die Form der Cluster. Insbesondere wird der Fall betrachtet, bei dem zwei Punkte des gleichen Clusters nahe an dessen Rand liegen. Zudem werden Ergebnisse für endliche Stichproben und die optimale Wahl des zentralen Parameters λ diskutiert.
Bei der Untersuchung von AWCD steht die Asymptotik der Differenz θ − ρ zwischen
den beiden Bernoulli Parametern eines symmetrischen stochastischen Blockmodells im
Mittelpunkt. Es stellt sich heraus, dass das Gebiet der starken Konsistenz bei weitem nicht optimal ist. Es werden jedoch zwei Modifikationen des Algorithmus vorgeschlagen: Zum einen kann der Bias der beteiligten Schätzer minimiert werden. Zum anderen schlagen wir vor, die Größe der initialen Schätzung der Struktur der Gruppen zu erhöhen, indem auch längere Pfade mit berücksichtigt werden. Mithilfe dieser Modifikationen erreicht der Algorithmus eine nahezu optimale Konsistenzrate. Teilweise können diese Ergebnisse auch auf allgemeinere stochastische Blockmodelle erweitert werden.
Für beide Probleme illustrieren und validieren wir außerdem die theoretischen Resultate durch umfangreiche Experimente.
Abschließend lässt sich sagen, dass die vorliegende Arbeit die Lücke zwischen theoretischen und praktischen Ergebnissen für die Algorithmen AWC und AWCD schließt.
Insbesondere sind beide Algorithmen nach einigen Modifikationen auf relevanten Modellen konsistent mit einer nahezu optimalen Rate. / This thesis presents a theoretical study of two novel algorithms for clustering and community detection: AWC (Adaptive Weights Clustering) and AWCD (Adaptive Weights Community Detection). Most importantly, we discuss rates of consistency. For AWC, we focus on the asymptotics of the depth ε of the gap between clusters, i.e. the relative difference between the density level of the clusters and the density level of the area between them. We show that AWC is consistent with a nearly optimal rate. This extends the low-dimensional results of Efimov, Adamyan and Spokoiny (2019) to the manifold model while also considering much more general assumptions on the underlying density and the shape of clusters. In particular,
we also consider the case of two points in the same cluster that are relatively close to the
boundary. Moreover, we provide finite sample guarantees as well as the optimal tuning parameter λ.
For AWCD, we consider the asymptotics of the difference θ − ρ between the two
Bernoulli parameters of a symmetric stochastic block model. As it turns out, the resulting regime of strong consistency is far from optimal. However, we propose two major modifications to the algorithm: Firstly, we discuss an approach to minimize the bias of
the involved estimates. Secondly, we suggest increasing the starting neighborhood guess
of the algorithm by taking into account paths of minimal path length k. Using these
modifications, we are able to show that AWCD achieves a nearly optimal rate of strong
consistency. We partially extend these results to more general stochastic block models.
For both problems, we illustrate and validate the theoretical study through a wide
range of numerical experiments.
To summarize, this thesis closes the gap between the practical and theoretical studies
for AWC and AWCD. In particular, after some modifications, both algorithms exhibit a
nearly optimal performance on relevant models.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:HUMBOLT/oai:edoc.hu-berlin.de:18452/27088 |
| Date | 19 April 2023 |
| Creators | Besold, Franz Jürgen |
| Contributors | Spokoiny, Vladimir, Reiß, Markus, Zhu, Jia-Jie |
| Publisher | Humboldt-Universität zu Berlin |
| Source Sets | Humboldt University of Berlin |
| Language | German |
| Detected Language | English |
| Type | doctoralThesis, doc-type:doctoralThesis |
| Format | application/pdf |
| Rights | http://rightsstatements.org/vocab/InC/1.0/ |
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