Le volume des simplexes hyperboliques joue un rôle important dans la connaissance du volume des variétés hyperboliques ainsi que dans d'autres domaines des mathématiques comme par exemple en arithmétique. Mais il est beaucoup plus difficile à calculer que le volume des simplexes euclidiens, et les résultats connus sont toujours partiels. Dans cette thèse, nous démontrons une généralisation aux simplexes hyperboliques finis et idéaux d'une formule utilisée par A. Connes pour calculer l'aire des triangles euclidiens et hyperboliques. Cette formule intégrale ne permet pas de calculer des valeurs précises, mais plutôt d'étudier des propriétés analytiques de la fonction volume des simplexes hyperboliques idéaux. C'est du moins l'application que nous en faisons. Cela se fait en paramétrant un simplexe idéal par ses sommets sur une sphère -- cette sphère sera le bord de l'espace hyperbolique dans les modèles de la boule de Poincaré ou de Klein. Plus précisément, nous développons une méthode de décomposition en harmoniques sphériques -- après en avoir décrit une base -- du volume d'un simplexe idéal en fonction de ses sommets. Nous détaillons ensuite cette méthode en dimensions 2 et 3, sans toutefois obtenir des formules définitives synthétiques. Nous avons en effet recours au logiciel de calcul formel Maple pour obtenir les premiers coefficients de la décomposition.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:CCSD/oai:tel.archives-ouvertes.fr:tel-00000956 |
| Date | 21 December 2001 |
| Creators | PEREYROL, Richard |
| Source Sets | CCSD theses-EN-ligne, France |
| Language | French |
| Detected Language | French |
| Type | PhD thesis |
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