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Dissertacao Wender J de Souza.pdf: 1008440 bytes, checksum: b2d3405f265353a21b9eaaad1c91d71f (MD5)
Previous issue date: 2010-03-29 / In this work we are interested in the solution of the following problem: Let Y = ( f ,g)
be a vector field of class C1 in R2. Suppose that (x, y) = (0,0) is a singular point
of Y and assume that for any q ∈ R2, the eigenvalues of DY have negative real part,
this is, det(DY) > 0 and tr(DY) < 0. Then, the solution (x, y) = (0,0) of Y is globally
asymptotically stable.
To this end, we show that this problema is equivalent to the following: Let Y : R2 →R2
be a C1 vector field. If det(DY) > 0 and tr(DY) < 0, then Y is globally injective. This
equivalence was proved by C. Olech [1].
So we show the injectivity of the vector field Y under the conditions det(DY) > 0 and
tr(DY)<0. In fact, we present a more stronger result, which was obtained by C. Gutierrez
and can be found in [4]. This result is given by: Any planar vector field X of class C2
satisfying the r-eigenvalue condition for some r ∈ [0,¥) is injective. / Neste trabalho, estamos interessados em estudar a solução do seguinte problema: Seja
Y = ( f ,g) um campo de vetores, de classe C1, em R2. Suponha que (x, y) = (0,0) é um
ponto singular de Y e suponha que, para todo q ∈ R2, os autovalores de DY tem parte
real negativa, isto é, det(DY) > 0 e tr(DY) < 0. Então, a solução (x, y) = (0,0) de Y é
globalmente assintoticamente estável.
Para este fim, mostramos que este problema é equivalente ao seguinte: Seja Y : R2 →R2
uma campo de vetores de classe C1. Se det(DY) > 0 e tr(DY) < 0, então Y é globalmente
injetora. Esta equivalência foi demonstrada por C. Olech em [1].
Desta forma, a estratégia é estudar a injetividade do campo Y sob as condições det(DY)>
0 e tr(DY) < 0. Na verdade, apresentamos um resultado um pouco mais forte, o qual foi
obtido por C. Gutierrez e pode ser encontrado em [4]. Este resultado é dado por: Qualquer
campo de vetores X : R2 →R2 de classe C2 satisfazendo a condição de r-autovalor, para
algum r ∈ [0,¥), é injetora.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:IBICT/oai:repositorio.bc.ufg.br:tde/1926 |
| Date | 29 March 2010 |
| Creators | SOUZA, Wender José de |
| Contributors | GARCIA, Ronaldo Alves |
| Publisher | Universidade Federal de Goiás, Mestrado em Matemática, UFG, BR, Ciências Exatas e da Terra |
| Source Sets | IBICT Brazilian ETDs |
| Language | Portuguese |
| Detected Language | English |
| Type | info:eu-repo/semantics/publishedVersion, info:eu-repo/semantics/masterThesis |
| Format | application/pdf |
| Source | reponame:Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da UFG, instname:Universidade Federal de Goiás, instacron:UFG |
| Rights | info:eu-repo/semantics/openAccess |
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