Este trabalho se propõe a estudar o comportamento assintótico dos sistemas dinâmicos autônomos respaldado na Teoria das Dimensões. Mais precisamente, vamos compreender de que maneira nos é útil limitar a dimensão fractal do atrator global de um semigrupo a fim de estudar a dinâmica em dimensão finita, sem que se perca informações sobre a dinâmica ao fazê-lo. Para tanto, o Teorema de Mañé tem um papel decisivo junto às propriedades da dimensão de Hausdorff e a da dimensão fractal; nos permitindo encontrar uma projeção cuja restrição ao atrator é injetora sobre um espaço de dimensão finita. Constatamos ainda que esta abordagem por projeções se aplica largamente a semigrupos originados de equações diferenciais em espaços de Banach de dimensão infinita. / In this work, we study the asymptotic behavior of autonomous dynamical systems supported on the Dimension Theory. More precisely, we understand how fractal dimension finiteness of the global attractor of a semigroup can be used to study the dynamics in finite dimension, without losing information on the dynamics in doing so. For this purpose, the Mañés Theorem plays a decisive role considering the Hausdorff dimension properties and the fractal dimension; thanks to which we managed to find a projection whose restriction to the attractor is an injective application over a finite dimensional space. Besides, we also acknowledge that this projections approach is largely applied to semigroups arrising from differential equations in infinite dimensional Banach spaces.

O propósito deste trabalho é estudar a dinâmica assintótica de problemas parabólicos em domínios tipo dumbbell. Para isto primeiro estudaremos a semi-continuidade superior de atratores para problemas parabólicos com condição de fronteira do tipo Neumann homogênea e depois estudaremos a existência de equilíbrios estáveis não-constantes para problemas de reação-difusão com condições de fronteira tipo Neumann não-lineares. / The aim of this work is to study the asymptotic dynamics of parabolic problems in dumbbell type domains. To that end firstly, we study upper semicontinuity of attractors for parabolic problems with homogeneous Neumann boundary conditions and afterwards we study the existence of stable nonconstant equilibria for reaction-diffusion problems with nonlinear Neumann boundary conditions.

Este trabalho contém resultados sobre a existência, unicidade e comportamento assintótico de soluções para uma equação de viga não linear do tipo Kirchhoff, \'u IND. tt\' \'+ \'DELTA\' POT. 2\' u - M(\'INT.IND. OMEGA\' | \'NABLA\' u| 2 dx) \'DELTA\' u+ f (\'u IND. t\' ) +g(u) = h em × R +, onde \'R POT. N\' é um domínio limitado com fronteira regular \\GAMA. Essa equação é um modelo matemático para pequenas vibrações transversais de vigas ou placas extensíveis. O termo não local M(\'INT.IND. OMEGA\' | \\NABLA u |2 dx) u está relacionado à variação de tensão na viga devida à sua extensibilidade. O termo f (\'u IND. t\' ) representa uma dissipação para o sistema e g(u) representa a força exercida pelo meio. A função h representa uma força externa adicional. Consideramos o problema com as condições de fronteira u|×R + = \'INT. u SUP. \'INT. v\' | \\\'GAMA\' ×\'R +\' = 0, que corresponde ao modelo de vigas fixadas pelo bordo \\\'GAMA\'. Discutiremos o caso em que a dissipação é linear e o caso em que é não linear. Mostraremos que em ambos os casos o sistema dinâmico associado ao problema possui um atrator global. Entretanto, para o caso em que a dissipação é linear, obtemos num espaço de fase mais regular, a existência de um conjunto inércia de dimensão finita, que atrai exponencialmente todos os limitados deste espaço / This work contains some results on the existence, uniqueness and asymptotic behavior of solutions for a nonlinear beam equation of Kirchhoff type, \'u IND. tt\' + \' DELTA POT. 2\' u+ M(\'INT. IND.\' |u| 2 dx) u + g(\'u IND. t\') + f (u) = h; where \'R POT. N\' is a bounded domain with smooth boundary . This equation is a model for small vibrations of extensible beams. The nonlocal term M(\' INT. IND.\' |u| 2 dx) u is related to the variation of tensions in the beam due to its extensibility. The term f (\'u IND. t\') represents a damping mechanism for the system and g(u) represents the force exerted by the foundation. The function h represents an additional external force. We consider the problem with boundary condition u|×R+ = \' u SUP. \' |×R+ = 0, which corresponds to the model of clamped beams. We discuss the cases where the dissipation is linear and the case nonlinear. We show that in both cases, the dynamical system associated to the problem has a global attractor. However, when the dissipation is linear, we obtain, in a more regular space, the existence of an inertial set of finite dimension, which attracts exponentially all bounded sets of this space

Submitted by Johnny Rodrigues (johnnyrodrigues@ufcg.edu.br) on 2018-08-10T17:51:03Z No. of bitstreams: 1 BRUNO ARTHUR SANTOS DE ALMEIDA - DISSERTAÇÃO PPGMAT 2015..pdf: 938463 bytes, checksum: ad040a3bd6379e6ea801856f1925dcca (MD5) / Made available in DSpace on 2018-08-10T17:51:03Z (GMT). No. of bitstreams: 1 BRUNO ARTHUR SANTOS DE ALMEIDA - DISSERTAÇÃO PPGMAT 2015..pdf: 938463 bytes, checksum: ad040a3bd6379e6ea801856f1925dcca (MD5) Previous issue date: 2015-08 / Capes / Para ler o resumo deste trabalho recomendamos o download do arquivo, uma vez que o mesmo possui fórmulas e caracteres matemáticos que não foram possíveis trascreve-los aqui. / To read the summary of this work we recommend downloading the file, since it has formulas and mathematical characters that were not possible to transcribe them here.

Made available in DSpace on 2016-06-02T20:28:22Z (GMT). No. of bitstreams: 1 DissRST.pdf: 849253 bytes, checksum: cb7b8fefd7457a912d1a964b5deff29e (MD5) Previous issue date: 2007-03-26 / Universidade Federal de Sao Carlos / In this work we study the differential equation ut = uxx+ f (u); 0 6 x 6 1; t > 0 with homogeneous Dirichlet boundary conditions and f 2C1(R;R) lipschitz and bounded globally and satisfying the following conditions: (i)limsup juj!¥ f (u)u¡1 6 0 (ii) f (0) = 0: We study the existence of the invariant manifold exponentially attractor decomposing the espace L2(0;1) such that the equation can be rewritten as the weakly coupled system. We use the gradient systems theory to show that the equation has a global attractor. / Neste trabalho, estudamos a equação diferencial ut = uxx+ f (u); 0 6 x 6 1; t > 0 com condições de fronteira de Dirichlet homogênea e f 2 C1(R;R) globalmente lipschitz e limitada, satisfazendo as seguintes condições: (i)limsup juj!¥ f (u)u¡1 6 0 (ii) f (0) = 0: Estudamos a existência de uma variedade invariante exponencialmente atratora, decompondo o espaço L2(0;1) de modo a reescrever a equação como um sistema de equaões fracamente acoplado. Usamos a teoria de sistemas gradientes para mostrar que a equaão possui um atrator global.

Submitted by Johnny Rodrigues (johnnyrodrigues@ufcg.edu.br) on 2018-07-27T16:36:24Z No. of bitstreams: 1 RODRIGO TOLEDO TEIXEIRA CÂMARA - DISSERTAÇÃO PPGMAT 2011..pdf: 613119 bytes, checksum: 87759133ae4ab596c12042ee64e93dff (MD5) / Made available in DSpace on 2018-07-27T16:36:24Z (GMT). No. of bitstreams: 1 RODRIGO TOLEDO TEIXEIRA CÂMARA - DISSERTAÇÃO PPGMAT 2011..pdf: 613119 bytes, checksum: 87759133ae4ab596c12042ee64e93dff (MD5) Previous issue date: 2011-11 / CNPq / Neste trabalho consideramos uma equação de evolução não local com convolução e provamos a existência de um atrator global para o fluxo gerado por esta equação. Além disso, mostramos que o funcional energia associado a esta equação satisfaz a propriedade de Lyapunov de decrescer ao longo de soluções. Mostramos também a existência de equilíbrios não triviais e estudamos a instabilidade destes equilíbrios. / In this work, we consider a non local evolution equation with convolution and we prove the existence of a global attractor for the flow generated by that equation. Futhermore, we show that the energy functional associated with this equation satisfies the Lyapunov’s property of decreasing under the solutions. We also show the existence of non trivial equilibria and study its instability

Este trabalho se propõe a estudar o comportamento assintótico dos sistemas dinâmicos autônomos respaldado na Teoria das Dimensões. Mais precisamente, vamos compreender de que maneira nos é útil limitar a dimensão fractal do atrator global de um semigrupo a fim de estudar a dinâmica em dimensão finita, sem que se perca informações sobre a dinâmica ao fazê-lo. Para tanto, o Teorema de Mañé tem um papel decisivo junto às propriedades da dimensão de Hausdorff e a da dimensão fractal; nos permitindo encontrar uma projeção cuja restrição ao atrator é injetora sobre um espaço de dimensão finita. Constatamos ainda que esta abordagem por projeções se aplica largamente a semigrupos originados de equações diferenciais em espaços de Banach de dimensão infinita. / In this work, we study the asymptotic behavior of autonomous dynamical systems supported on the Dimension Theory. More precisely, we understand how fractal dimension finiteness of the global attractor of a semigroup can be used to study the dynamics in finite dimension, without losing information on the dynamics in doing so. For this purpose, the Mañés Theorem plays a decisive role considering the Hausdorff dimension properties and the fractal dimension; thanks to which we managed to find a projection whose restriction to the attractor is an injective application over a finite dimensional space. Besides, we also acknowledge that this projections approach is largely applied to semigroups arrising from differential equations in infinite dimensional Banach spaces.

O propósito deste trabalho é estudar a dinâmica assintótica de problemas parabólicos em domínios tipo dumbbell. Para isto primeiro estudaremos a semi-continuidade superior de atratores para problemas parabólicos com condição de fronteira do tipo Neumann homogênea e depois estudaremos a existência de equilíbrios estáveis não-constantes para problemas de reação-difusão com condições de fronteira tipo Neumann não-lineares. / The aim of this work is to study the asymptotic dynamics of parabolic problems in dumbbell type domains. To that end firstly, we study upper semicontinuity of attractors for parabolic problems with homogeneous Neumann boundary conditions and afterwards we study the existence of stable nonconstant equilibria for reaction-diffusion problems with nonlinear Neumann boundary conditions.

Este trabalho contém resultados sobre a existência, unicidade e comportamento assintótico de soluções para uma equação de viga não linear do tipo Kirchhoff, \'u IND. tt\' \'+ \'DELTA\' POT. 2\' u - M(\'INT.IND. OMEGA\' | \'NABLA\' u| 2 dx) \'DELTA\' u+ f (\'u IND. t\' ) +g(u) = h em × R +, onde \'R POT. N\' é um domínio limitado com fronteira regular \\GAMA. Essa equação é um modelo matemático para pequenas vibrações transversais de vigas ou placas extensíveis. O termo não local M(\'INT.IND. OMEGA\' | \\NABLA u |2 dx) u está relacionado à variação de tensão na viga devida à sua extensibilidade. O termo f (\'u IND. t\' ) representa uma dissipação para o sistema e g(u) representa a força exercida pelo meio. A função h representa uma força externa adicional. Consideramos o problema com as condições de fronteira u|×R + = \'INT. u SUP. \'INT. v\' | \\\'GAMA\' ×\'R +\' = 0, que corresponde ao modelo de vigas fixadas pelo bordo \\\'GAMA\'. Discutiremos o caso em que a dissipação é linear e o caso em que é não linear. Mostraremos que em ambos os casos o sistema dinâmico associado ao problema possui um atrator global. Entretanto, para o caso em que a dissipação é linear, obtemos num espaço de fase mais regular, a existência de um conjunto inércia de dimensão finita, que atrai exponencialmente todos os limitados deste espaço / This work contains some results on the existence, uniqueness and asymptotic behavior of solutions for a nonlinear beam equation of Kirchhoff type, \'u IND. tt\' + \' DELTA POT. 2\' u+ M(\'INT. IND.\' |u| 2 dx) u + g(\'u IND. t\') + f (u) = h; where \'R POT. N\' is a bounded domain with smooth boundary . This equation is a model for small vibrations of extensible beams. The nonlocal term M(\' INT. IND.\' |u| 2 dx) u is related to the variation of tensions in the beam due to its extensibility. The term f (\'u IND. t\') represents a damping mechanism for the system and g(u) represents the force exerted by the foundation. The function h represents an additional external force. We consider the problem with boundary condition u|×R+ = \' u SUP. \' |×R+ = 0, which corresponds to the model of clamped beams. We discuss the cases where the dissipation is linear and the case nonlinear. We show that in both cases, the dynamical system associated to the problem has a global attractor. However, when the dissipation is linear, we obtain, in a more regular space, the existence of an inertial set of finite dimension, which attracts exponentially all bounded sets of this space

Made available in DSpace on 2014-07-29T16:02:15Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Dissertacao Wender J de Souza.pdf: 1008440 bytes, checksum: b2d3405f265353a21b9eaaad1c91d71f (MD5) Previous issue date: 2010-03-29 / In this work we are interested in the solution of the following problem: Let Y = ( f ,g) be a vector field of class C1 in R2. Suppose that (x, y) = (0,0) is a singular point of Y and assume that for any q &#8712; R2, the eigenvalues of DY have negative real part, this is, det(DY) > 0 and tr(DY) < 0. Then, the solution (x, y) = (0,0) of Y is globally asymptotically stable. To this end, we show that this problema is equivalent to the following: Let Y : R2 &#8594;R2 be a C1 vector field. If det(DY) > 0 and tr(DY) < 0, then Y is globally injective. This equivalence was proved by C. Olech [1]. So we show the injectivity of the vector field Y under the conditions det(DY) > 0 and tr(DY)<0. In fact, we present a more stronger result, which was obtained by C. Gutierrez and can be found in [4]. This result is given by: Any planar vector field X of class C2 satisfying the r-eigenvalue condition for some r &#8712; [0,¥) is injective. / Neste trabalho, estamos interessados em estudar a solução do seguinte problema: Seja Y = ( f ,g) um campo de vetores, de classe C1, em R2. Suponha que (x, y) = (0,0) é um ponto singular de Y e suponha que, para todo q &#8712; R2, os autovalores de DY tem parte real negativa, isto é, det(DY) > 0 e tr(DY) < 0. Então, a solução (x, y) = (0,0) de Y é globalmente assintoticamente estável. Para este fim, mostramos que este problema é equivalente ao seguinte: Seja Y : R2 &#8594;R2 uma campo de vetores de classe C1. Se det(DY) > 0 e tr(DY) < 0, então Y é globalmente injetora. Esta equivalência foi demonstrada por C. Olech em [1]. Desta forma, a estratégia é estudar a injetividade do campo Y sob as condições det(DY)> 0 e tr(DY) < 0. Na verdade, apresentamos um resultado um pouco mais forte, o qual foi obtido por C. Gutierrez e pode ser encontrado em [4]. Este resultado é dado por: Qualquer campo de vetores X : R2 &#8594;R2 de classe C2 satisfazendo a condição de r-autovalor, para algum r &#8712; [0,¥), é injetora.