Mes travaux de recherche sont liés à l'analyse asymptotique, l'approximation numérique et la théorie spectrale de problèmes elliptiques. J'allie les résultats théoriques et les simulations numériques pour préciser le comportement des solutions : la théorie permettant de proposer des méthodes numériques plus performantes et de prévoir certaines difficultés numériques, les simulations illustrant parfois des comportements plus fins que ceux démontrés jusque-là ou suggérant de nouvelles conjectures. Ce document se découpe en quatre chapitres, chacun correspondant à un thème de recherche. Le premier thème de recherche que je vais aborder concerne l'analyse mathématique de la supraconductivité qui était le sujet de ma thèse. Cette thématique a fait l'objet de collaborations avec F. Alouges, M. Dauge, S. Fournais, B. Helffer, D.~Martin, N. Popoff, N. Raymond et G. Vial. Notre objectif est de comprendre l'influence de la géométrie du matériau sur l'apparition de la supraconductivité. La première étape consiste à étudier le spectre de l'opérateur de Schrödinger avec champ magnétique et paramètre semi-classique dans les domaines à coins. Nous avons établi un développement asymptotique des modes propres et montré que les vecteurs propres avaient une structure double échelle, ce qui rend les simulations numériques très délicates. Nous avons proposé une approche basée sur la méthode d'éléments finis nodaux de haut degré et mis en évidence l'effet tunnel pour des domaines symétriques. Ces résultats ont ensuite permis d'étudier les minimiseurs de la fonctionnelle de Ginzburg-Landau et d'établir la localisation du paramètre d'ordre qui rend compte de la densité des électrons supraconducteurs, lorsqu'on abaisse progressivement le champ magnétique appliqué. Très peu d'études avaient été réalisées pour les domaines à coins. Nous en avons maintenant une compréhension assez précise en dimension 2. Récemment, nous avons commencé l'étude en dimension 3 dans le cadre de la thèse de N. Popoff, avec M. Dauge. La deuxième partie de ce document présente un modèle simplifié pour le transport quantique dans des diodes à effet tunnel résonant. Elle résulte de collaborations avec A. Faraj, F. Nier et Y. Patel. Ce dernier a réalisé une analyse asymptotique fine de systèmes de Schrödinger-Poisson stationnaires, non linéaires uni-dimensionnels dans un régime hors-équilibre. Nous avons proposé une adaptation numérique de cette analyse afin de déterminer rapidement des diagrammes courant-tension et de bifurcation et montré la pertinence de ce modèle réduit en le comparant à un modèle 1D de Schrödinger-Poisson avec traitement numérique complet des états résonnants. Dans le cadre du projet ANR jeunes chercheurs n° JCJC06-139561 Macadam, je me suis intéressée à l'analyse multi-échelle et numérique de problèmes elliptiques perturbés, en collaboration avec D. Brancherie, M. Dambrine, S. Tordeux, F. Hérau et G. Vial. Ce projet consiste à étudier l'influence de petites perturbations géométriques sur la solution de problèmes elliptiques. Les cas d'une inclusion isolée ou de plusieurs bien séparées ont été largement étudiés. Nous considérons plus précisément le cas où la distance entre deux inclusions tend vers zéro mais reste grande par rapport à leur taille caractéristique. Nous donnons un développement asymptotique multi-échelle complet de la solution de l'équation de Laplace dans la situation de deux inclusions. Nous présentons également quelques simulations numériques basées sur une méthode de superposition multi-échelle de la solution non perturbée et d'un profil (solution normalisée de l'équation de Laplace dans le domaine extérieur obtenu par blow-up de la perturbation). Nous étendons ces techniques aux équations de l'élasticité linéaire afin de prédire le comportement à rupture de certains matériaux présentant des micro-défauts. Nous avons également proposé des méthodes pour calculer effectivement les profils intervenant dans le développement asymptotique. Ceci a soulevé des questions mathématiques liées à la perte de coercivité provenant de conditions de Ventcel dégénérées. Le dernier chapitre propose quelques résultats sur les partitions minimales, en collaboration avec B. Helffer, T. Hoffmann-Ostenhof, C. Léna et G. Vial. Nous souhaitons comprendre le lien entre la $k$-partition minimale, pour laquelle la plus grande première valeur propre du Laplacien-Dirichlet sur les $k$ sous-domaines est minimale parmi les $k$-partitions, et les ensembles nodaux des vecteurs propres du Laplacien avec condition de Dirichlet. Nous nous sommes focalisés sur le cas $k=3$ pour lequel on ne connaît pas, en général, de partition optimale même pour des géométries très simples telles que le carré ou le disque. En se restreignant aux configurations symétriques, nous utilisons la méthode d'éléments finis pour exhiber des candidats aux 3-partitions minimales symétriques du disque, du carré ou d'autres géométries. Cette étude numérique nous a conduits à des problèmes d'isospectralité que nous avons résolus en utilisant le Hamiltonien de Aharonov-Bohm. L'introduction de cet opérateur pour résoudre une question théorique a ouvert une nouvelle piste numérique qui consiste à calculer les modes propres par une méthode d'éléments finis sur un revêtement à deux feuillets et d'étudier le comportement des lignes nodales en fonction du point singulier. Cela nous a permis de dégager de nouveaux candidats aux partitions minimales.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:CCSD/oai:tel.archives-ouvertes.fr:tel-00650033 |
| Date | 08 June 2011 |
| Creators | Bonnaillie-Noël, Virginie |
| Publisher | Université Rennes 1 |
| Source Sets | CCSD theses-EN-ligne, France |
| Language | fra |
| Detected Language | French |
| Type | habilitation ࠤiriger des recherches |
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