Die hier dargelegte Dissertation ist motiviert durch die Vorschläge von Joyce, Doan und Walpuski zur Definitionen enumerativer Invarianten für G2-Mannigfaltigkeit, durch das Zählen gewisser kalibrierter Untermannigfaltigkeiten, sogenannter assoziativen Untermannigfaltigkeiten.
In Kapitel 1, werde ich Definitionen und grundlegende Fakten über G2-Mannigfaltigkeit und deren assoziative Untermannigfaltigkeit wiederholen. Darüber hinaus erläutere ich die Konstruktion von G2-Mannigfaltigkeit als verdrehte verbundener Summe.
Kapitel 2 schafft die nötige Grundlage für das darauf folgende dritte Kapitel. Hier definiere ich den Modul-Raum der asymptotisch zylindrischen assoziativen Untermannigfaltigkeiten zusammen mit seiner natürlichen Topologie und zeige, dass der Modul-Raum lokal homeomorph zur Urbild-Menge der Null einer glatten Abbildung zwischen zwei endlich-dimensionalen Räu- men ist. In besonderen Fällen ist dieser Modul-Raum eine Lagrangesche Untermannigfaltigkeit des Modul Raums der holomorphen Kurven einer asymptotisch zylindrischen Calabi-Yau Man- nigfaltigkeit.
In Kapitel 3 beweise ich ein Klebe-Theorem für ein Paar von asymptotisch zylindrischen as- soziativen Untermannigfaltigkeiten in einem zusammenpassenden Paar von asymptotisch zylin- drischen G2-Mannigfaltigkeiten. Hiermit konstruiere ich neue geschlossene und starre (rigid) assoziative Untermannigfaltigkeiten in verdrehten verbundenen Summe G2-Mannigfaltigkeiten.
In Kapitel 4 untersuche ich den Modul-Raum der konisch singulären assoziativen Un- termannigfaltigkeiten in G2-Mannigfaltigkeiten. Durch das Umformulieren des Indexes des Operators, der die Deformationstheorie kontrolliert, in bestimmte Stabilität-Indizes des zu- grundeliegenden assoziativen Kegels begründe ich, dass in einem generischen Pfad in dem Raum der ko-geschlossenen G2-Strukturen keine asymptotisch konischen assoziative Unter- mannigfaltigkeiten existieren, die mindestens eine Singularität besitzen, die auf einem Kegel mit Stabiltätsindex größer als eins modeliert werden. Dieses Resultat lässt sich auf alle speziellen Lagrangesche-Kegel außer den Harvey-Lawson-T2-Kegel und die Vereinigung zweier speziellen Lagrangesche-Flächen anwenden. Zusätzlich lässt sich das Ergebnis auch auf alle konischen assoziativen Untermannigfaltigkeiten anwenden, deren zugrundeliegende Verschlingung (link) holomorphe Kurven mit Null-Torsion in S6 sind. Des Weiteren dienen Teile des vierten Kapitels als Grundlage für das darauf folgende Kapitel 5.
Aufgrund einiger Übergangsphänomene entlang eines generischen Pfades von G2-Strukturen, führt das naive Zählen von assoziativen Untermannigfaltigkeiten zu keiner Invariante. Tat- sächlich wurde vermutet, dass a) eine assoziative Untermannigfaltigkeit aus einer assoziativen Untermannigfaltigkeit mit Selbstsschnitt (self-intersection) geboren werden kann, und, dass b) drei assoziative Untermannigfaltigkeiten aus einer konisch singulären assoziativen Un- termannigfaltigkeit, deren Singularität durch den Harvey-Lawson-T2-Kegel modelliert wird, entspringen. In Kapitel 5, beweise ich ein Desingularitätstheorem für konisch singulären assoziative Untermannigfaltigkeit entlang eines Pfades von ko-geschlossenen G2-Strukturen. Somit verifiziere ich Vermutung b) bewiesen und teilweise auch Vermutung a). / The dissertation presented here is motivated from the proposals made by Joyce, Doan and Walpuski to define enumerative invariants of G2-manifolds by counting certain calibrated submanifolds, called associative submanifolds.
In Chapter 1, I review the definitions and basic facts of G2-manifolds and associative submanifolds. Moreover, I explain the construction of G2-manifolds as twisted connected sums. Chapter 2 serves as a necessary groundwork for Chapter 3. Here, I define the moduli space
of asymptotically cylindrical associative submanifolds with its natural topology and prove that the moduli space is locally homeomorphic to the zero set of a smooth map between two finite-dimensional spaces. In the best scenario, this moduli space is a Lagrangian submanifold of the moduli space of holomorphic curves in the asymptotic Calabi-Yau 3-fold.
In Chapter 3, I prove a gluing theorem for a pair of asymptotically cylindrical associative submanifolds in a matching pair of asymptotically cylindrical G2-manifolds. Using this I construct new closed and rigid associative submanifolds of twisted connected sum G2-manifolds.
In Chapter 4, I study the moduli space of conically singular associative submanifolds in G2-manifolds. By reformulating the index of the operator that controls the deformation theory in terms of certain stability-index of the associative cones, I establish that in a generic path of co-closed G2-structures there are no conically singular associative submanifolds that have at least one singularity modeled on a cone of stability-index greater than one. This result applies to all special Lagrangian cones, except the Harvey-Lawson T2-cone and a union of two special Lagrangian planes. Additionally, it applies to all associative cones whose links are null-torsion holomorphic curves in S6. Furthermore, parts of Chapter 4 also serve as a necessary groundwork for Chapter 5.
The naive counting of associative submanifolds does not lead to an invariant due to several transitions that may occur along a generic path of G2-structures. In fact it was conjectured that a) an associative submanifold born out of an associative submanifold with self intersection, and b) three associative submanifolds arise from a conically singular associative submanifold whose singularity is modeled on Harvey-Lawson T2-cone. In Chapter 5, I prove a desingularization theorem for conically singular associative submanifolds along a path of co-closed G2-structures. Consequently, I verify conjecture b) and partially confirm conjecture a).
| Identifer | oai:union.ndltd.org:HUMBOLT/oai:edoc.hu-berlin.de:18452/28439 |
| Date | 27 November 2023 |
| Creators | Bera, Gorapada |
| Contributors | Walpuski, Thomas, Lotay, Jason, Nordström, Johannes |
| Publisher | Humboldt-Universität zu Berlin |
| Source Sets | Humboldt University of Berlin |
| Language | English |
| Detected Language | English |
| Type | doctoralThesis, doc-type:doctoralThesis |
| Format | application/pdf |
| Rights | (CC BY 4.0) Attribution 4.0 International, https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/ |
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