Bei elliptischen Kurven E/K über einem Zahlkörper K zwingt die Cassels-Tate Paarung die Ordnung der Tate-Shafarevich Gruppe Sha(E/K) zu einem Quadrat. Ist A/K eine prinzipal polarisierte abelschen Varietät, so ist bewiesen, daß die Ordnung von Sha(A/K) ein Quadrat oder zweimal ein Quadrat ist. William Stein vermutet, daß es für jede quadratfreie positive ganze Zahl k eine abelsche Varietät A/Q gibt, mit #Sha(A/Q)=kn². Jedoch ist es ein offenes Problem was zu erwarten ist, wenn die Dimension von A/Q beschränkt wird. Betrachtet man ausschließlich abelsche Flächen B/Q, so liefern Resultate von Poonen, Stoll und Stein Beispiele mit #Sha(B/Q)=kn², für k aus {1,2,3}. Diese Arbeit studiert tiefgehend nicht-einfache abelsche Flächen B/Q, d.h. es gibt elliptische Kurven E_1/Q und E_2/Q und eine Isogenie phi: E_1 x E_2 -> B. Relativ zur quadratischen Ordnung der Tate-Shafarevich Gruppe von E_1 x E_2 soll die Ordnung von Sha(B/Q) bestimmt werden. Um dieses Ziel zu erreichen wird die Isogenie-Invarianz der Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer ausgenutzt. Für jedes k aus {1,2,3,5,6,7,10,13,14} wird eine nicht-einfache, nicht-prinzipal polarisierte abelsche Fläche B/Q konstruiert, mit #Sha(B/Q)=kn². Desweiteren wird computergestützt berechnet wie oft #Sha(B/Q)=5n², sofern die Isogenie phi: E_1 x E_2 -> B zyklisch vom Grad 5 ist. Es stellt sich heraus, daß dies bei circa 50% der ersten 20 Millionen Beispielen der Fall ist. Abschließend wird gezeigt, daß wenn phi: E_1 x E_2 -> B zyklisch ist und #Sha(B/Q)=kn², so liegt k in {1,2,3,5,6,7,10,13}. Bei allgemeinen Isogenien phi: E_1 x E_2 -> B bleibt es unklar, ob k nur endlich viele verschiedene Werte annehmen kann. Im Anhang wird auf abelsche Flächen eingegangen, welche isogen zu der Jacobischen J einer hyperelliptischen Kurve über Q sind. Mit den in dieser Arbeit entwickelten Techniken können, anhand gewisser zyklischer Isogenien phi: J -> B, für jedes k in {11,17,23,29} Beispiele mit #Sha(B/Q)=kn² gegeben werden. / For elliptic curves E/K over a number field K the Cassels-Tate pairing forces the order of the Tate-Shafarevich group Sha(E/K) to be a perfect square. It is known, that if A/K is a principally polarised abelian variety, then the order of Sha(A/K) is a square or twice a square. William Stein conjectures that for any given square-free positive integer k there is an abelian variety A/Q, such that #Sha(A/Q)=kn². However, it is an open question what to expect if the dimension of A/Q is bounded. Restricting to abelian surfaces B/Q, then results of Poonen, Stoll and Stein imply that there are examples such that #Sha(B/Q)=kn², for k in {1,2,3}. In this thesis we focus in depth on non-simple abelian surfaces B/Q, i.e. there are elliptic curves E_1/Q and E_2/Q and an isogeny phi: E_1 x E_2 -> B. We want to compute the order of Sha(B/Q) with respect to the order of the Tate-Shafarevich group of E_1 x E_2, which has square order. To achieve this goal, we explore the invariance under isogeny of the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture. For each k in {1,2,3,5,6,7,10,13,14} we construct a non-simple non-principally polarised abelian surface B/Q, such that #Sha(B/Q)=kn². Furthermore, we compute numerically how often the order of Sha(B/Q) equals five times a square, for cyclic isogenies phi: E_1 x E_2 -> B of degree 5. It turns out that this happens to be the case in approx. 50% of the first 20 million examples we have checked. Finally, we prove that if there is a cyclic isogeny phi: E_1 x E_2 -> B and #Sha(B/Q)=kn², then k is in {1,2,3,5,6,7,10,13}. For general isogenies phi: E_1 x E_2 -> B it remains unclear, whether there are only finitely many possibilities for k. In the appendix, we briefly consider abelian surfaces B/Q being isogenous to Jacobians J of hyperelliptic curves over Q. The techniques developed in this thesis allow to understand certain cyclic isogenies phi: J -> B. For each k in {11,17,23,29}, we provide an example with #Sha(B/Q)=kn².
| Identifer | oai:union.ndltd.org:HUMBOLT/oai:edoc.hu-berlin.de:18452/17553 |
| Date | 13 February 2014 |
| Creators | Keil, Stefan |
| Contributors | Kloosterman, Remke Nanne, Flynn, Victor, Dokchitser, Tim |
| Publisher | Humboldt-Universität zu Berlin, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II |
| Source Sets | Humboldt University of Berlin |
| Language | English |
| Detected Language | English |
| Type | doctoralThesis, doc-type:doctoralThesis |
| Format | application/pdf |
| Rights | Namensnennung, http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/de/ |
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