Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgico / Nosso trabalho tem como objetivo desenvolver uma nova tÃcnica para problema de
fronteira livre para equaÃÃes totalmente nÃo-lineares
F(D2uε;Duε; x) = βε(uε) (0.0.1)
obtida quando ε → 0, onde βε → δoβ,δo
funÃÃo Delta Dirac.
Sobre o problema (0.0.1), inicialmente utilizamos o mÃtodo da menor supersoluÃÃo
para construir soluÃÃes adequadas para obtenÃÃo de algumas propriedades geomÃtricas,
uniformes em ε, das superfÃcies de nÃvel. Isto permite provar que a fronteira livre tem a
geometria fraca (no sentido da teoria geomÃtrica da medida) adequada para nossos objetivos.
Dentre elas, citamos a estimativa uniforme e Ãtima do gradiente das soluÃÃes de
(0.0.1) e nÃo-degenerescÃncia.
Para problema governado por operadores cÃncavos, estabelecemos importantes propriedades
geomÃtricas fracas, uniforme em ε, das superfÃcies de nÃvel aproximadas. Estudamos
tambÃm uma anÃlise aprofundada do problema de fronteira livre limite quando
ε → 0. Provamos que a funÃÃo limite u0 = limε→0 uε Ã soluÃÃo de
F(D2u(x);Du(x); u(x); x) = 0
no conjunto de positividade
Ω0 := {fu0 > 0g} e que u0 satisfaz as condiÃÃes geomÃtricas
adequadas. Neste caso, a funÃÃo u0 Ã forte candidata para a soluÃÃo do nosso problema de
fronteira livre. Finalmente, provaremos que a condiÃÃo de fronteira livre vale no sentido
da viscosidade de Caffarelli, o qual envolve uma hipÃtese natural de homogeneizaÃÃo do
operador totalmente nÃo-linear F. Em particular, para operadores invariantes por rotaÃÃes,
F(D2u), vamos mostrar que a derivada normal da funÃÃo limite u0 Ã constante ao longo
da fronteira livre. Provamos que, para operadores com coeficientes constantes, a fronteira
livre à de classe C1;. / In this work we develop a fully nonlinear theory for singularly perturbed elliptic equations problems with high energy activation. We esta-blish uniform and optimal gradient estimates of solutions and prove that minimal solutions are non-degenerated. For problems governed by concave equations, we establish uniform weak geometric properties of approximating level surfaces. We also provide a thorough analysis of the free boundary problem
obtained as a limit as the parameter term goes to
zero. We find the precise jumping condition of
limiting solutions through the phase transi-tion, which involves a subtle homogenization process
of the governing fully nonlinear operator. In particular, for rotational invariant operators, $F(D^2u)$, we show the normal derivative of limiting function is constant along the interface. Smoothness properties
of the free boundary are also addressed.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:IBICT/oai:www.teses.ufc.br:4026 |
| Date | 05 November 2010 |
| Creators | Gleydson Chaves Ricarte |
| Contributors | Eduardo Vasconcelos Oliveira Teixeira, Josà FÃbio Bezerra Montenegro, Djairo Guedes de Figueiredo, Elves Alves de Barros e Silva, Hermano Frid Neto |
| Publisher | Universidade Federal do CearÃ, Programa de PÃs-GraduaÃÃo em MatemÃtica, UFC, BR |
| Source Sets | IBICT Brazilian ETDs |
| Language | Portuguese |
| Detected Language | Portuguese |
| Type | info:eu-repo/semantics/publishedVersion, info:eu-repo/semantics/doctoralThesis |
| Format | application/pdf |
| Source | reponame:Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da UFC, instname:Universidade Federal do Ceará, instacron:UFC |
| Rights | info:eu-repo/semantics/openAccess |
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