Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgico / Nosso trabalho tem como objetivo desenvolver uma nova tÃcnica para problema de fronteira livre para equaÃÃes totalmente nÃo-lineares F(D2uε;Duε; x) = βε(uε) (0.0.1) obtida quando ε → 0, onde βε → δoβ,δo funÃÃo Delta Dirac. Sobre o problema (0.0.1), inicialmente utilizamos o mÃtodo da menor supersoluÃÃo para construir soluÃÃes adequadas para obtenÃÃo de algumas propriedades geomÃtricas, uniformes em ε, das superfÃcies de nÃvel. Isto permite provar que a fronteira livre tem a geometria fraca (no sentido da teoria geomÃtrica da medida) adequada para nossos objetivos. Dentre elas, citamos a estimativa uniforme e Ãtima do gradiente das soluÃÃes de (0.0.1) e nÃo-degenerescÃncia. Para problema governado por operadores cÃncavos, estabelecemos importantes propriedades geomÃtricas fracas, uniforme em ε, das superfÃcies de nÃvel aproximadas. Estudamos tambÃm uma anÃlise aprofundada do problema de fronteira livre limite quando ε → 0. Provamos que a funÃÃo limite u0 = limε→0 uε à soluÃÃo de F(D2u(x);Du(x); u(x); x) = 0 no conjunto de positividade Ω0 := {fu0 > 0g} e que u0 satisfaz as condiÃÃes geomÃtricas adequadas. Neste caso, a funÃÃo u0 à forte candidata para a soluÃÃo do nosso problema de fronteira livre. Finalmente, provaremos que a condiÃÃo de fronteira livre vale no sentido da viscosidade de Caffarelli, o qual envolve uma hipÃtese natural de homogeneizaÃÃo do operador totalmente nÃo-linear F. Em particular, para operadores invariantes por rotaÃÃes, F(D2u), vamos mostrar que a derivada normal da funÃÃo limite u0 à constante ao longo da fronteira livre. Provamos que, para operadores com coeficientes constantes, a fronteira livre à de classe C1;. / In this work we develop a fully nonlinear theory for singularly perturbed elliptic equations problems with high energy activation. We esta-blish uniform and optimal gradient estimates of solutions and prove that minimal solutions are non-degenerated. For problems governed by concave equations, we establish uniform weak geometric properties of approximating level surfaces. We also provide a thorough analysis of the free boundary problem obtained as a limit as the parameter term goes to zero. We find the precise jumping condition of limiting solutions through the phase transi-tion, which involves a subtle homogenization process of the governing fully nonlinear operator. In particular, for rotational invariant operators, $F(D^2u)$, we show the normal derivative of limiting function is constant along the interface. Smoothness properties of the free boundary are also addressed.

O presente trabalho teve como meta desenvolver uma rotina computacional para obter a soluÃÃo numÃrica de equaÃÃes diferenciais parciais atravÃs do MÃtodo sem malhas. Esse mÃtodo vem sendo aplicado na engenharia, visto que nos casos prÃticos muitas vezes encontram-se descontinuidades ou condiÃÃes de contorno que impossibilitam a soluÃÃo analÃtica, e muitas vezes dificultam bastante as soluÃÃes numÃricas de equaÃÃes diferenciais parciais. No mÃtodo utilizado, calcula-se as equaÃÃes a partir do mÃtodo numÃrico de Kansa, onde toma-se uma FunÃÃo de Base Radial (RBF) que vai calcular a matriz a partir da qual chegaremos à soluÃÃo analÃtica. A RBF utilizada foi a multiquadrÃtica. Essa funÃÃo irà depender de um parÃmetro de forma âcâ. Esse parÃmetro nÃo tem um valor definido, e o objetivo da rotina à encontrar um valor para esse parÃmetro, de forma que a soluÃÃo analÃtica se aproxime o mÃximo possÃvel da soluÃÃo numÃrica. Para se calcular esse valor do âcâ, a rotina irà calcular os valores do resÃduo para o domÃnio, e os valores do resÃduo para o contorno, para cada valor de âcâ em um intervalo determinado. ApÃs calculados esses valores, o programa compara os mesmos e fornece o ponto em que eles se aproximam mais. Nesse ponto à encontrado o parÃmetro de forma âcâ otimizado, e consequentemente a soluÃÃo numÃrica da equaÃÃo proposta. / This study was aimed to develop a computational routine for the numerical solution of partial differential equations using the method without mesh. This method has been applied in engineering, since in practical cases often are discontinuities or boundary conditions that preclude the analytic solution, and often quite difficult numerical solutions of partial differential equations. In the method used, it is estimated the equations from the numerical method of Kansas, it takes it a Radial Basis Function (RBF) that will calculate the matrix from which will come to the analytical solution. The RBF used was multiquadrÃtica. This function will depend on a parameter in a "c". This parameter does not have a defined value, and the routine goal is to find a value for this parameter, so that the analytical solution is closely match the numerical solution. To calculate this value of "c", the routine will calculate the residue values ​​for the domain, and the residue values ​​for the outline, for each value of "c" in a certain range. After these calculated values, the program compares them and supplies the point where they are closer to. This point is found as the parameter "c" optimized, and therefore the numerical solution of the equation proposed.

In this paper, we consider affine varieties in vector space to analyze and understand the geometric behavior of sets solutions of systems of linear equations, solutions of linear ordinary differential equations of second order resulting from mathematical modeling of systems, etc. We observed characteristics of affine varieties in vector spaces as a subspaces vector transferred to any vector belonging to affine variety and do a comparison of geometric representations of the solution sets of problem situations, cited above, with such features. / Neste trabalho, consideramos variedades afins no espaÃo vetorial para analisar e compreender o comportamento geomÃtrico de conjuntos soluÃÃes de sistemas de equaÃÃes lineares, de soluÃÃes de equaÃÃes diferenciais ordinÃrias lineares de segunda ordem resultantes de modelagens matemÃticas de sistemas, etc. Verificamos caracterÃsticas das variedades afins em espaÃos vetoriais como um subespaÃo vetorial transladado de qualquer vetor pertencente à variedade afim e fazemos uma comparaÃÃo das representaÃÃes geomÃtricas dos conjuntos soluÃÃes das situaÃÃes-problema, citados acima, com tais caracterÃsticas.

Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgico / O principal objetivo deste trabalho à resolver numericamente problemas fÃsicos associados com os fenÃmenos de transporte, que sÃo descritos por equaÃÃes diferenciais parciais, cujas soluÃÃes numÃricas exigem o uso de cÃdigos de computadores. Optamos por usar plataformas de software livre, especificamente o cÃdigo R e o OpenFOAM, escrevendo nossas prÃprios rotinas. O intuito à avaliar a aplicaÃÃo em fÃsica computacional de um novo paradigma, formado pela combinaÃÃo de software livre e computaÃÃo em nuvem. A tarefa de resolver numericamente uma equaÃÃo diferencial parcial passa pelo processo de sua discretizaÃÃo. Estudamos, numa etapa preliminar, os esquemas numÃricos frequentemente utilizados para discretizar EDP, encontrados na literatura: MÃtodo de DiferenÃas Finitas (MDF), MÃtodo de Volumes Finitos (MVF), MÃtodo de Elementos Finitos (MEF) em suas variantes (Galerkin contÃnuo e descontÃnuo). Numa etapa posterior, fazemos a implementaÃÃo computacional do mÃtodo dos volumes finitos (MVF) em R para difusÃo de calor em uma e duas dimensÃes, e para o escoamento bifÃsico em meios porosos em OpenFoam. A escolha do (MVF) foi motivada pela sua relativa simplicidade de implementaÃÃo e por apresentar propriedades conservativas baseadas em identidades de cÃlculo vetorial. Por Ãltimo foram escolhidos alguns casos de estudo e nestes foram realizadas as tarefas de discretizaÃÃo, implementaÃÃo computacional e simulaÃÃo. Durante todo o processo foram levados em conta os seguintes parÃmetros: portabilidade do cÃdigo, reuso do cÃdigo, estratÃgias para modificaÃÃo do domÃnio. Nossas principais contribuiÃÃes foram implementar em OpenFOAM e em R cÃdigos de alta portabilidade (desktop, laptop, nuvem) e com bom reuso (segmentaÃÃo em subrotinas especializadas que podem ser adaptadas a diferentes problemas). Neste trabalho mostramos tambÃm como modificar a geometria de um problema jà implementado computacionalmente apenas usando um operador matricial que bloqueia pontos do domÃnio, criando uma heterogeneidade sem alterar drasticamente o cÃdigo. Aplicamos as tÃcnicas desenvolvidas para o estudo numÃrico do escoamento multifÃsico em meios porosos atravÃs do mÃtodo de volumes finitos. Mostramos tambÃm a aplicaÃÃo da mesma metodologia no estudo de problemas clÃssicos como a difusÃo em 1D e 2D. / The main goal of this work is numerically solving physics problems associated with transport phenomena, which are described by partial differential equations, whose numerical solution requires the use of computer codes. We use open source software like R and OpenFOAM, writing our own routines. The aim is to approach computational physics from a new paradigma, composed by open source software and cloud computing. To numerically solve a partial differential equation one needs some sort of discretization. We first study the frequent found numerical methods: Finite Difference (FD), Finite Volume (FV), Finite Elements (FE). Latter on, we implement a finite volume scheme for the solution of the diffusion equations in 1D and 2D using R and the two phase flow in a porous media using OpenFOAM. We choose the (FV) for its simplicity and because it has some conservatives properties resulting from vector calculus identities. Finally we perform some numerical experiments. During the work we keep in mind code reusability and portability. Our main achievements are: implementation of highly portable and reusable codes (specialized routines that can be used in different problems) into R and OpenFOAM that can be used from notebooks to cloud computing. We present also a scheme to specify domain heterogeneity through a blocking operator. We apply the studied methodology for numerically solving multiphase flows in porous media. We also show its application for solving classical problems like 1D and 2D diffusion.