Cette thèse aborde le processus ponctuel déterminantal, un modèle probabiliste qui capture
la répulsion entre les points d’un certain espace. Celle-ci est déterminée par une matrice
de similarité, la matrice noyau du processus, qui spécifie quels points sont les plus similaires
et donc moins susceptibles de figurer dans un même sous-ensemble. Contrairement à la sélection
aléatoire uniforme, ce processus ponctuel privilégie les sous-ensembles qui contiennent
des points diversifiés et hétérogènes. La notion de diversité acquiert une importante grandissante
au sein de sciences comme la médecine, la sociologie, les sciences forensiques et les
sciences comportementales. Le processus ponctuel déterminantal offre donc une alternative
aux traditionnelles méthodes d’échantillonnage en tenant compte de la diversité des éléments
choisis. Actuellement, il est déjà très utilisé en apprentissage automatique comme modèle de
sélection de sous-ensembles. Son application en statistique est illustrée par trois articles. Le
premier article aborde le partitionnement de données effectué par un algorithme répété un
grand nombre de fois sur les mêmes données, le partitionnement par consensus. On montre
qu’en utilisant le processus ponctuel déterminantal pour sélectionner les points initiaux de
l’algorithme, la partition de données finale a une qualité supérieure à celle que l’on obtient
en sélectionnant les points de façon uniforme. Le deuxième article étend la méthodologie
du premier article aux données ayant un grand nombre d’observations. Ce cas impose un
effort computationnel additionnel, étant donné que la sélection de points par le processus
ponctuel déterminantal passe par la décomposition spectrale de la matrice de similarité qui,
dans ce cas-ci, est de grande taille. On présente deux approches différentes pour résoudre ce
problème. On montre que les résultats obtenus par ces deux approches sont meilleurs que
ceux obtenus avec un partitionnement de données basé sur une sélection uniforme de points.
Le troisième article présente le problème de sélection de variables en régression linéaire et
logistique face à un nombre élevé de covariables par une approche bayésienne. La sélection
de variables est faite en recourant aux méthodes de Monte Carlo par chaînes de Markov,
en utilisant l’algorithme de Metropolis-Hastings. On montre qu’en choisissant le processus
ponctuel déterminantal comme loi a priori de l’espace des modèles, le sous-ensemble final de
variables est meilleur que celui que l’on obtient avec une loi a priori uniforme. / This thesis presents the determinantal point process, a probabilistic model that captures
repulsion between points of a certain space. This repulsion is encompassed by a similarity
matrix, the kernel matrix, which selects which points are more similar and then less likely to
appear in the same subset. This point process gives more weight to subsets characterized by
a larger diversity of its elements, which is not the case with the traditional uniform random
sampling. Diversity has become a key concept in domains such as medicine, sociology,
forensic sciences and behavioral sciences. The determinantal point process is considered
a promising alternative to traditional sampling methods, since it takes into account the
diversity of selected elements. It is already actively used in machine learning as a subset
selection method. Its application in statistics is illustrated with three papers. The first
paper presents the consensus clustering, which consists in running a clustering algorithm
on the same data, a large number of times. To sample the initials points of the algorithm,
we propose the determinantal point process as a sampling method instead of a uniform
random sampling and show that the former option produces better clustering results. The
second paper extends the methodology developed in the first paper to large-data. Such
datasets impose a computational burden since sampling with the determinantal point process
is based on the spectral decomposition of the large kernel matrix. We introduce two methods
to deal with this issue. These methods also produce better clustering results than consensus
clustering based on a uniform sampling of initial points. The third paper addresses the
problem of variable selection for the linear model and the logistic regression, when the
number of predictors is large. A Bayesian approach is adopted, using Markov Chain Monte
Carlo methods with Metropolis-Hasting algorithm. We show that setting the determinantal
point process as the prior distribution for the model space selects a better final model than
the model selected by a uniform prior on the model space.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:umontreal.ca/oai:papyrus.bib.umontreal.ca:1866/25249 |
| Date | 02 1900 |
| Creators | Vicente, Sergio |
| Contributors | Murua, Alejandro |
| Source Sets | Université de Montréal |
| Language | fra |
| Detected Language | French |
| Type | thesis, thèse |
| Format | application/pdf |
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