Nichtglatte Optimierungsprobleme in reflexiven Banachräumen treten in vielen Anwendungen auf. Häufig wird angenommen, dass alle vorkommenden Nichtdifferenzierbarkeiten durch Lipschitz-stetige Operatoren wie abs, min und max gegeben sind. Bei solchen Problemen kann es sich zum Beispiel um optimale Steuerungsprobleme mit möglicherweise nicht glatten Zielfunktionen handeln, welche durch partielle Differentialgleichungen (PDG) eingeschränkt sind, die ebenfalls nicht glatte Terme enthalten können.
Eine effiziente und robuste Lösung erfordert eine Kombination numerischer Simulationen und spezifischer Optimierungsalgorithmen.
Lokal Lipschitz-stetige, nichtglatte Nemytzkii-Operatoren, welche direkt in der Problemformulierung auftreten, spielen eine wesentliche Rolle in der Untersuchung der zugrundeliegenden Optimierungsprobleme.
In dieser Dissertation werden zwei spezifische Methoden und Algorithmen zur Lösung solcher nichtglatter Optimierungsprobleme in reflexiven Banachräumen vorgestellt und diskutiert.
Als erste Lösungsmethode wird in dieser Dissertation die Minimierung von nichtglatten Operatoren in reflexiven Banachräumen mittels sukzessiver quadratischer Überschätzung vorgestellt, SALMIN.
Ein neuartiger Optimierungsansatz für Optimierungsprobleme mit nichtglatten elliptischen PDG-Beschränkungen, welcher auf expliziter Strukturausnutzung beruht, stellt die zweite Lösungsmethode dar, SCALi.
Das zentrale Merkmal dieser Methoden ist ein geeigneter Umgang mit Nichtglattheiten. Besonderes Augenmerk liegt dabei auf der zugrundeliegenden nichtglatten Struktur des Problems und der effektiven Ausnutzung dieser, um das Optimierungsproblem auf angemessene und effiziente Weise zu lösen. / Non-smooth optimization problems in reflexive Banach spaces arise in many applications. Frequently, all non-differentiabilities involved are assumed to be given by Lipschitz-continuous operators such as abs, min and max. For example, such problems can refer to optimal control problems with possibly non-smooth objective functionals constrained by partial differential equations (PDEs) which can also include non-smooth terms. Their efficient as well as robust solution requires numerical simulations combined with specific optimization algorithms.
Locally Lipschitz-continuous non-smooth non-linearities described by appropriate Nemytzkii operators which arise directly in the problem formulation play an essential role in the study of the underlying optimization problems.
In this dissertation, two specific solution methods and algorithms to solve such non-smooth optimization problems in reflexive Banach spaces are proposed and discussed.
The minimization of non-smooth operators in reflexive Banach spaces by means of successive quadratic overestimation is presented as the first solution method, SALMIN.
A novel structure exploiting optimization approach for optimization problems with non-smooth elliptic PDE constraints constitutes the second solution method, SCALi.
The central feature of these methods is the appropriate handling of non-differentiabilities. Special focus lies on the underlying structure of the problem stemming from the non-smoothness and how it can be effectively exploited to solve the optimization problem in an appropriate and efficient way.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:HUMBOLT/oai:edoc.hu-berlin.de:18452/24930 |
| Date | 11 March 2022 |
| Creators | Weiß, Olga |
| Contributors | Walther, Andrea, Welker, Kathrin, Steinbach, Marc |
| Publisher | Humboldt-Universität zu Berlin |
| Source Sets | Humboldt University of Berlin |
| Language | English |
| Detected Language | English |
| Type | doctoralThesis, doc-type:doctoralThesis |
| Format | application/pdf |
| Rights | (CC BY 4.0) Attribution 4.0 International, https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/ |
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