Dans cette thèse de Doctorat, on étudie dans un premier temps les processus d'Ornstein-Uhlenbeck à valeurs complexes (Zt = Xt + iYt, t ≥ 0), où (Xt, t ≥ 0) et (Yt, t ≥ 0) sont ses coordonnées cartésiennes. En prenant le paramètre du processus d'Ornstein-Uhlenbeck égal à 0, on discute, en particulier, le cas du mouvement brownien plan. Plus précisément, on étudie la distribution de certains temps d'atteinte associés aux nombres de tours autour d'un point fixé. Pour obtenir des résultats analytiques, on utilise et on étend l'identité de Bougerol. Cette identité dit que, pour un mouvement brownien réel Nous développons quelques identités en loi concernant les processus d'Ornstein-Uhlenbeck à valeurs complexes, qui sont équivalentes à l'identité de Bougerol. Ces identités nous permettent de caractériser les lois de temps d'atteinte Tc ≡ inf{t : θt = c}, (c > 0) du processus continu des nombres de tours θt, t ≥ 0 associé au processus d'Ornstein-Uhlenbeck à valeurs complexes Z. De plus, on étudie la distribution du temps aléatoire T−d,c ≡ inf{t : θt= −d ou c}, (c, d > 0) et particulièrement de T−c,c ≡ inf{t : θt=−c, c}, (c > 0). Une étude approfondie de l'identité de Bougerol montre que 1/Au(β), où Au(β) est l'horloge qui intervient dans l'identité de Bougerol, considéré sous une mesure appropriée, changée à partir de la mesure de Wiener, est infiniment divisible. En utilisant les résultats précédents, on estime le temps de rotation moyen, noté TRM. Ce dernier est la moyenne du premier temps pour qu'un polymère plan modélisé comme une collection de n cordes paramétrées par un angle brownien fasse un tour autour d'un autre point (winding). On est ainsi conduit à étudier une somme d'exponentielles i.i.d. avec un mouvement brownien réél en argument. On montre que la position finale satisfait à une nouvelle équation stochastique, avec un drift non-linéaire. Finalement, on obtient une formule asymptotique pour le TRM. Le terme dominant dépend de √n et, notablement, il dépend aussi faiblement de la configuration initiale moyenne. Nos résultats analytiques sont confirmés par des simulations browniennes.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:CCSD/oai:tel.archives-ouvertes.fr:tel-00584079 |
| Date | 06 April 2011 |
| Creators | Vakeroudis, Stavros |
| Publisher | Université Pierre et Marie Curie - Paris VI |
| Source Sets | CCSD theses-EN-ligne, France |
| Language | English |
| Detected Language | French |
| Type | PhD thesis |
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