Sejam $M$ e $N$ superfícies fechadas e $\\tau: M \\to M$ uma involução livre de pontos fixos. Dizemos que uma classe de homotopia $\\beta \\in [M,N]$ tem a propriedade de Borsuk-Ulam se para toda função contínua $g: M \\to N$ que representa $\\beta$, existe $x \\in M$ tal que $g(\\tau(x)) = g(x)$. No caso em que $N$ é diferente de $S^2$ e $RP^2$, mostramos que $\\beta$ não ter a propriedade de Borsuk-Ulam é equivalente a existência de um diagrama algébrico envolvendo $\\pi_1(M)$, $\\pi_1(M_\\tau)$, $P_2(N)$ e $B_2(N)$, sendo $M_\\tau$ o espaço de órbitas de $\\tau$ e sendo $P_2 (N)$ e $B_2(N)$, respectivamente, o grupo de tranças puras e totais de $N$. Para cada caso listado abaixo, nós classificamos todas as classes de homotopia $\\beta \\in [M,N]$ que têm a propriedade de Borsuk-Ulam: $M = T^2$, $M_\\tau = T^2$ e $N = T^2$; $M = T^2$, $M_\\tau = K^2$ e $N = T^2$; $M = K^2$ e $N = T^2$; $M = T^2$, $M_\\tau = T^2$ e $N = K^2$. No caso em que $N = S^2$, para cada superfície $M$ e involução $\\tau: M \\to M$, nós classificamos os elementos $\\beta \\in [M,S^2]$ que têm a propriedade de Borsuk-Ulam. Para fazer tal classificação, nós usamos a teoria de funções equivariantes e a teoria de grau de aplicações. Para classes de homotopia $\\beta \\in [M,RP^2]$, classificamos aquelas que se levantam para $S^2$. No final, nós consideramos a propriedade de Borsuk-Ulam para ações livres de $Z_p$, com $p$ um inteiro primo positivo. Neste caso, mostramos que se $M$ e $N$ são superfícies fechadas e $Z_p$ age livremente em M, com $p$ ímpar, então sempre existe uma função $f: M \\to N$ homotópica a uma função constante e cuja restrição a cada órbita da ação é injetora. / Let $M$ and $N$ be compact surfaces without boundary, and let $\\tau: M \\to M$ be a fixed-point free involution. We say that a homotopy class $\\beta \\in [M,N]$ has the Borsuk-Ulam property if for every continuous fuction $g: M \\to N$ that represents $\\beta$, there exists $x \\in M$ such that $g(\\tau(x)) = g(x)$. In the case where $N$ is different of $S^2$ and $RP^2$, we show that the fact that $\\beta$ does not have the Borsuk-Ulam property is equivalent to the existence of an algebraic diagram involving $\\pi_1(M)$, $\\pi_1(M_\\tau), $P_2(N)$ and $B_2(N)$, where $M_\\tau$ is the orbit space of $\\tau$ and $P_2(N)$ and $B_2(N) $ are the pure and the full braid groups of the surface $N$ respectively. We then go on to consider the cases of the torus $T^2$ and the Klein bottle $K^2$. Let $M$ and $N$ satisfy one of the following: $M = T^2$, $M_\\tau = T^2$ and $N = T^2$; $M = T^2$, $M_\\tau = K^2$ and $N = T^2$; $M = K^2$ and $N = T^2$; $M = T^2$, $M_\\tau = T^2$ and $N = K^2$. In these cases we classify the homotopy classes $\\beta \\in [M,N]$ that possess the Borsuk-Ulam property. If $N= S^2$, for every surface $M$ and an involution $\\tau: M \\to M$, we classify the elements $\\beta \\in [M, S^2] $ that possess the Borsuk-Ulam property. To obtain this classification, we make use of the theory of equivariant functions and degree theory of maps. For homotopy classes $\\beta \\in [M,RP^2]$, we classify the classes that admit a lifting to $S^2$. Finally, we consider the Borsuk-Ulam property for free actions of $Z_p$, where $p$ is a prime number. If $M$ and $N$ are compact surfaces without boundary such that $Z_p$ acts freely on $M$, with $p$ odd, we show that there is always a function $f: M \\to N$ homotopic to the constant function whose restriction to every orbit of $\\tau$ is injective.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:usp.br/oai:teses.usp.br:tde-02102015-102952 |
| Date | 21 July 2015 |
| Creators | Laass, Vinicius Casteluber |
| Contributors | Goncalves, Daciberg Lima |
| Publisher | Biblioteca Digitais de Teses e Dissertações da USP |
| Source Sets | Universidade de São Paulo |
| Language | Portuguese |
| Detected Language | English |
| Type | Tese de Doutorado |
| Format | application/pdf |
| Rights | Liberar o conteúdo para acesso público. |
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